TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 58

Man zeige, dass die Folge $a_{n}$ uneigentlich konvergiert, indem man zu jedem $A>0$ ein $N(A)$ angebe, sodass für $n>N(A)$ immer $a_{n}>A$ gilt.

$a_{n}={\frac {2n^{4}+n}{n^{3}+n}}$

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Lösungsvorschlag

Theoretische Überlegungen:
Wir müssten $a_{n}>A$ nach $n$ auflösen, um die Funktion $N(A)$ darstellen zu können.
Das geht aber direkt nicht wirklich, also müssen wir uns etwas überlegen.
$N(A)=n_{0}$ liefert einen index $n_{0}$ ab dem $a_{n}$ für alle indizes $n>n_{0}$ die eingesetzt werden, auf jeden Fall ein größeres Ergebnis als $A$ liefert. Das heißt, wenn wir eine uneigentlich konvergente Folge $b_{n}$ finden von der wir zeigen können, dass sie weniger schnell (uneigentlich) konvergiert, und würden wir mit dieser ein $M(A)=m_{0}$ ermitteln, wäre $a_{n}$, für jedes eingesetzte $n>m_{0}$, auf jeden Fall größer als $A$, da wir ja zeigen konnten, dass gilt:
$a_{n}\geq b_{n}>A$
Wenn wir also $b_{n}>A$ verwenden um $N(A)$ zu berechnen gilt dieses $N(A)$ folglich jedenfalls auch für $a_{n}$.

Konkret für dieses Beispiel:
Nehmen wir für $b_{n}=n$ an. Wir müssen zeigen dass $a_{n}\geq b_{n}$ ist.
${\frac {2n^{4}+n}{n^{3}+n}}\geq n$
$\Leftrightarrow 2n^{3}+1\geq n^{3}+n$
$\Leftrightarrow n^{3}+1\geq n$
$\Leftrightarrow n^{2}+{\frac {1}{n}}\geq 1$ ..Passt

Also können wir die Ungleichung $n>A$ aufstellen und $N(A)$ berechnen, da die Ungleichung schon von vornherein nach $n$ aufgelöst ist, müssen wir nichts weiter tun.
$N(A)=\lceil A\rceil$

Wie sich leicht ausprobieren lässt, liefert $a_{n}$ für jedes $n>N(A)$ einen $Wert>A$. (für $A>0$)
$N({\frac {1}{10}})=1:\;a_{1}={\frac {3}{2}}>1/10$ ..Passt
$N(1)=1:\;a_{1}={\frac {3}{2}}>1$ ..Passt
(n=1 und N(1) = 1? Dafür muss es doch gar nicht gelten. In der Angabe steht ja "sodass für n > N(A)" 1 > 1 ist nicht wahr - oder versteh ich was falsch? Das würd ich mir einfach schenken.) <-- n und A ist NICHT das selbe (Es heißt N(A), nicht N(n)) .. n muss nur größer als N(A) sein, sonst gibt es da keinen Bezug

$N(2)=2:\;a_{2}={\frac {34}{10}}=3,4>2$ ..Passt
$N(10)=10:\;a_{10}={\frac {20.010}{1.010}}\approx 19,8>10$ ..Passt
usw.

Hinweis: Berechnung für N(A) müsste wie folgt sein, um der Ungleichung N(A) > A zu entsprechen: $N(A)=\lfloor A\rfloor +1$

Alternativer Lösungsansatz (nur eine Idee..)

kann ich nicht einfach $n^{3}$ aus $a_{n}$ herausheben und kürzen, um dann auf ${\frac {2n+(1/n^{2})}{1+(1/n^{2})}}>A$ zu kommen? und wenn ich das hab seh ich doch dass die $1/n^{2}$ teile ja vernachlässigbar sind und gegen 0 gehn. dadurch komme ich dann auf $2n>A\Rightarrow n>A/2\Rightarrow N(A)=ceil(A/2)$

und das reicht dann schon? das ist btw. nur eine schnelle Idee und ich hab keine Ahnung ob das zulässig ist oder nicht, bitte verbessert mich:)