TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 77

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz: $\sum _{n\ge 0}\frac{n+3}{7n^2-2n+1}$

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Lösung von Tina

Schritt 1: Ist die Folge eine Nullfolge? (Notwendiges Kriterium für Konvergenz der Reihe)

$\sum _{n\ge 0}\frac{n+3}{7n^2-2n+1}/:n^2$

$\frac{\frac{1}{n}+\frac{3}{n^3}}{7-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}\to \frac{0+0}{7-0+0}=\frac{0}{7}=0\to$ Es handelt sich um eine Nullfolge.

Schritt 2: Es gibt nur positive Folgenglieder - Die Reihe ist also entweder absolut konvergent oder divergent.

Schritt 3: Annahme: divergent wegen Ähnlichkeit zu $\frac{1}{n}$

Schritt 4: Z.B. $\frac{1}{7n}$ als divergent Minorante annehmen und beweisen.

$\frac{1}{7n}\le \frac{n+3}{7n^2-2n+1}$

Die Reihe ist divergent (folgt aus Schritt 2.)