TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 80

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum _{n\geq 1}{\frac {(n^{2}+1)^{n}}{{\sqrt {n}}^{n^{2}}}}$

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{{Beispiel|1=
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Hier wendet man das Wurzelkriterium in Limesform an und kommt relativ schnell zu einem Ergebnis.

${\sqrt[{n}]{\frac {(n^{2}+1)^{n}}{{\sqrt {n}}^{n^{2}}}}}={\frac {n^{2}+1}{\sqrt[{n}]{{\sqrt {n}}^{n^{2}}}}}={\frac {n^{2}+1}{n^{{\frac {1}{2}}n^{2}{\frac {1}{n}}}}}={\frac {n^{2}+1}{n^{\frac {n}{2}}}}={\frac {n^{2}(1+{\frac {1}{n^{2}}})}{n^{2}(n^{{\frac {n}{2}}-2})}}={\frac {1+{\frac {1}{n^{2}}}}{n^{{\frac {n}{2}}-2}}}$

Von diesem Term kann man nun einfach den Grenzwert berechnen:

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {1+{\frac {1}{n^{2}}}}{n^{{\frac {n}{2}}-2}}}=0$

Der Grenzwert ist kleiner $1$, somit ist gemäß dem Wurzelkriterium die Reihe konvergent.