TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 91

Es sei $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$. Man bestimme den Grenzwert der Reihe $\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}\left(a_{n+1}+a_{n}\right)$.

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Lösungsvorschlag

Da es eine Summe über eine Differenz von Folgengliedern ist, könnte es sich um eine Teleskopsumme handeln, womit sich relativ leicht der Grenzwert bestimmen lassen könnte.

Durch Aufstellen, Umordnen und Wegkürzen ergibt sich eine einfache Partialsummenfolge:
${\begin{aligned}s_{n}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(a_{k+1}+a_{k}\right)\\&=(-1)^{0}(a_{0+1}+a_{0})+(-1)^{1}(a_{1+1}+a_{1})+(-1)^{2}(a_{2+1}+a_{2})+(-1)^{3}(a_{3+1}+a_{3})+\dots +(-1)^{n}(a_{n+1}+a_{n})\\&=(a_{1}+a_{0})-(a_{2}+a_{1})+(a_{3}+a_{2})-(a_{4}+a_{3})+\dots +(-1)^{n}(a_{n+1}+a_{n})\\&=a_{0}+(-1)^{n}a_{n+1}\end{aligned}}$

Grenzwertbildung der Partialsumenfolge mit der Ersetzung $\lim a_{n+1}=\lim a_{n}=0$ ergibt die Lösung:
${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }s_{n}&=\lim _{n\to \infty }(a_{0}+(-1)^{n}a_{n+1})\\&=\underbrace {\lim _{n\to \infty }a_{0}} _{a_{0}}+\underbrace {\lim _{n\to \infty }((-1)^{n}a_{n+1})} _{0}\\&=a_{0}\end{aligned}}$