TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 92

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:

$\sum _{n\ge 0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{n})x^n,|x|<1$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Folgende Theoreme werden gebraucht:

Limesform des Quotientenkriteriums:

1. $lim\; sup\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|<1$, so ist $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}$ absolut konvergent.
2. $lim\; sup\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|>1$, so ist$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}$ divergent.
3. $lim\; sup\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\le 1\le limsup|\frac{a_{k+1}}{a_k}|<1$, so ist keine Aussage möglich.

Binominalkoeeffizient:

Sei n eine reelle und k eine nicht-negative ganze Zahl (natürliche Zahl oder Null). Dann nennt man

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\{\begin{array}{cc}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k!},& \text{wenn }k>0\\ 1,& \text{wenn }k=0\\ 0,& \text{wenn }k<0\end{array}$

den Binomialkoeffizienten n über k.

Für nicht-negatives ganzzahliges n läßt sich der Binomialkoeffizient auch schreiben als

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\{\begin{array}{cc}\frac{n!}{k!(n-k)!},& \text{wenn }k\le 0\\ 1,& \text{wenn }k=0\end{array}$

Lösungsvorschlag

Ausgeschrieben wäre das:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{k})=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})\cdots (-\frac{2k-3}{2})}{k!}$

Wir berechnen anhand des Quotientenkriteriums den Grenzwert der Reihe. Dazu benötigen wir die Folgenglieder $a_k$ und $a_{k+1}$, die wir mit Hilfe des Binominalkoeffizienten berechnen.

$a_k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{k})x^k=\frac{1/2!}{k!(1/2-k)!}{x}^k$

$a_{k+1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{k+1})x^{k+1}=\frac{1/2!}{k!(1/2-(k+1))!}{x}^{k+1}$

Berechnung für das Quotientenkriterium:

$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\frac{\frac{1}{2}!}{k!(\frac{1}{2}-(k+1))!}{x}^{\cancel{k+1}}}{\frac{\frac{1}{2}!}{k!(\frac{1}{2}-k)!}\cancel{x^k}}=\frac{\frac{\frac{1}{2}!}{k!(\frac{1}{2}-k-1))!}x}{\frac{\frac{1}{2}!}{k!(\frac{1}{2}-k)!}}=\frac{\cancel{\frac{1}{2}!k!}(\frac{1}{2}-k)!x}{\cancel{\frac{1}{2}!k!}(-\frac{1}{2}-k))!}=$

$=\frac{(\frac{1}{2}-k)!x}{(-\frac{1}{2}-k))!}=\frac{(\frac{1}{2}!-k!)x}{-\frac{1}{2}!-k!}=\frac{(k!-\frac{1}{2}!)x}{k!+\frac{1}{2}!}=\frac{xk!-\frac{x}{2}!}{k!+\frac{1}{2}!}=\frac{2xk!-x!}{2k!-1}$

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}\left|\frac{2xk!-x!}{2k!-1}\right|=\left|\frac{2x-\frac{x!}{k!}}{2-\frac{1}{k!}}\right|=\left|\frac{2x-0}{2-0}\right|=\left|x\right|$

Gilt somit für alle $k<0$, also z.B $x^{1/2}$, $x^{1/3}$ , etc. ...

Anmerkung: Es ergibt keinen Sinn, dass bei $a_{k+1}$ nicht jedes k um eins erhöht wird. Hat sich hier ein Fehler eingeschlichen?

Anmerkung: Folgender Fehler hat sich eingeschlichen. Beim berechnen vom Konvergenzradius von einer Reihe der Form: Summe a_n*(x-x_0)^n rechnet man den lim sup von |a_n+1/a_n| aus. Das heißt den Teil mit x^n lässt man weg. Ich bin auf das Ergebnis R = -1 gekommen