TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 152

Man diskutiere die Funktion $f(x)=x^2{e}^{-x^2}$ (d. h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte,

Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, ...) und skizziere den Funktionsgraphen.

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Lösungsvorschlag 1

von --daJu

1. Ableitung

$f(x)=x^2{e}^{-x^2}$

$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[x^2]\ast e^{-x^2}+x^2\ast \frac{d}{dx}[e^{-x^2}]$

$=2x{e}^{-x^2}+x^2{e}^{-x^2}\ast \frac{d}{dx}[-x^2]$

$=2x{e}^{-x^2}-2x^3{e}^{-x^2}$

$f^{\prime }(x)=2x(1-x^2)e^{-x^2}$

2. Ableitung

$f^{″}(x)=\frac{d}{dx}[2x(1-x^2)e^{-x^2}]$

$=2\frac{d}{dx}[x(1-x^2)e^{-x^2}]$

$=2(\frac{d}{dx}[x](1-x^2)e^{-x^2}+x\frac{d}{dx}[1-x^2]e^{-x^2}+x(1-x^2)\frac{d}{dx}[e^{-x^2}])$

...

$f^{″}(x)=e^{-x^2}(4x^4-10x^2+2)$

Extremwerte

$f^{\prime }(x)=0=2x(1-x^2)e^{-x^2}$

$2x=>x_1=0$

$(1-x^2)=>x_{2|3}=\pm 1$

$E_1(0/0),E_2(1/\frac{1}{e}),E_3(-1/\frac{1}{e})$

Wendepunkt

$f^{″}(x)=e^{-x^2}(4x^4-10x^2+2)$

$4x^4-10x^2+2=0$

$x^4-\frac{10}{4}{x}^2-\frac{2}{4}=0$

x^2 durch y ersetzen/substituieren (Biquadratische Gleichung glaub ich):

$y^2-\frac{10}{4}y-\frac{2}{4}=0$

${}_1{y}_2=\frac{10}{8}\pm \sqrt{\frac{(\frac{10}{4}{)}^2}{4}-\frac{2}{4}}$

... daraus folgt ...

$y_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$

$y_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$

... y wieder durch x^2 ersetzen/rücksubstituieren ...

${}_{1|2}{x}_{3|4}=\sqrt{{}_1{y}_2}$

${}_1{x}_2=\pm \sqrt{\frac{5+\sqrt{17}}{4}}=\pm 1,51022$

${}_3{x}_4=\pm \frac{\sqrt{5-\sqrt{17}}}{2}=\pm 0,46821$

Diese Werte in $f(x)=x^2{e}^{-x^2}$ einsetzen und man erhält die 4 Wendepunkte.

Anmerkung: Hier muss man zusätzlich überprüfen, ob die 3. Ableitung für alle 4 gefundenen x ungleich null ist. Nur dann sind es Wendepunkte. Siehe Buch Satz 5.32.

Symmetrie

Wenn $f(x)=f(-x)$ für alle x gilt, besteht eine Achsensymmetrie.

$x^2{e}^{-x^2}=(-x{)}^2{e}^{-}-x^2$

Dies gilt durch die ^2 für alle x, somit ist die Symmetrie gegeben.

Grenzwert

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[x^2{e}^{-x^2}]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[x^2]\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[e^{-x^2}]=0\ast \mathrm{\infty }=0$

Anmerkung: $0\ast \mathrm{\infty }$ ist ein unbestimmter Ausdruck (https://de.wikipedia.org/wiki/Unbestimmter_Ausdruck_(Mathematik)#Definition), das darf man nicht mit 0 gleichsetzen. Hier muss stattdessen die Regel von de l'Hospital angewandt werden.

Skizze

Skizze für Beispiel 146 f(x)=x^2-e^(-x^2).png

siehe Links im nächsten Punkt

Hilfsmittel falls notwendig

https://web.archive.org/web/20180730223333/https://www.ableitungsrechner.net/

http://www.wolframalpha.com