TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 172

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Man bilde das Cauchyprodukt der Potenzreihen von und (jeweils mit Entwicklungsstelle und zeige damit die Formel

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Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Taylorreihen finden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sinus und Cosinus werden über ihre Taylorreihen definiert. https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions#Series_definitions

Wir substituieren in der ersten Formel x mit 2x und erhalten

und weil der Zweier aus der Summe herausgezogen werden kann

Diese Formeln können über die Taylorreihe (Definition 5.20) erahnt werden. Aus den ersten Gliedern der Summe darf aber nicht „einfach so“ auf unendlich weitere geschlossen werden.

Gleichsetzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Cauchyprodukt

Potenzregeln

Da die n in der rechten Summe konstant bleiben, können Teile herausgezogen werden

Auch hier wurde herausgezogen. Der übrige Teil entspricht genau dem Binomialkoeffizienten

Nach dem binomischen Lehrsatz erhalten wir

Ad binomischer Lehrsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der binomische Lehrsatz kann oben nicht einfach so angewandt werden.

Unten stehen immer ungerade Zahlen. Wenn wir jetzt die geraden einfügen, erhalten wir

Die Zahlen beim Binomialkoeffizienten sind immer symmetrisch. Das sehen wir am Pascalschen Dreieck. Wir haben unser Ergebnis sozusagen verdoppelt und korrigieren das

Darauf können wir wirklich einfach den binomischen Lehrsatz anwenden

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+from+k%3D0+to+n+of+(+(2n%2B1)choose(2k%2B1))