TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 31

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n\in \mathbb {N}$ definiert.)

$a_{n}={\frac {2n^{3}+2n-3}{4n^{3}+n^{2}+5}}$

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Lösungsvorschlag

Nachdem die höchste Potenz der uneigentlich konvergenten Folge im Zähler kleiner gleich der höchsten Potenz im Nenner ist, ist die Folge konvergent. Nun müssen wir nur noch den Grenzwert bestimmen. Dazu heben wir die höchste Potenz aus den beiden uneigentlich konvergenten Folgen heraus, und erhalten so:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{3}(2+{\frac {2}{n^{2}}}-{\frac {3}{n^{3}}})}{n^{3}(4+{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{n^{3}}})}}$

Nun können wir kürzen und n gegen unendlich gehen lassen:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {2+{\frac {2}{n^{2}}}-{\frac {3}{n^{3}}}}{4+{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{n^{3}}}}}={\frac {2+0+0}{4+0+0}}={\frac {1}{2}}$

Somit haben wir die Aufgabe gelöst und den Grenzwert der Folge bestimmt.