TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 1

Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle natürlichen Zahlen hat. (Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.)

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Lösungsvorschläge

• Immer und immer wieder zu zählen anfangen. (OEIS A002262)

0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, ...

• Das gleiche bloß man zählt runter. (OEIS A025581)

0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 4, 3, 2, 1, 0, ...

• $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=n-k^{2}$ wobei k die größte Zahl ist für die $k^{2}<n$ gilt. (OEIS A053186)

0, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

• $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=k^{2}-n$ wobei k die kleinste Zahl ist für die $k^{2}\geq n$ gilt. (OEIS A068527)

0, 0, 2, 1, 0, 4, 3, 2, 1, 0, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, ...

Bei diesem Beispiel geht es darum zu demonstrieren ob man verstanden hat was ein Häufungspunkt im mathematischen Sinne ist. Daher, man muss genau die mathematische Definition des Häufungspunktes erklären und anwenden können (Siehe Satz 4.26 und Beweis auf S. 161/162 in "Mathematik für Informatik"). Natürlich muss man auch erklären was für Voraussetzungen diese theoretische Folge erfüllen muss; nämlich, dass jedes Element der natürlichen Zahlen unendlich oft vorkommen muss. Als Beispiel für eine derartige Folge kann man eine der obigen angeben und es anhand des Beispiels erklären. Es ist jedenfalls nicht gefordert eine fertige Formel, für eine Folge welche die gefragten Anforderungen erfüllt, zu konstruieren. (Unser Tutor hats nach einer Weile aufgegeben ;))

[SS16] Von Prof. Länger an die Tafel geschriebene Folge: 0,0,1,0,1,2,0,1,2,3, ...

Er hat die Definitionen von Häufungspunkt und Epsilon/Epsilonumgebung abgefragt und hat einige kleine Beispiele abgeprüft (was ist der Häufungspunkt, wenn ...).