TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 113

Mit Hilfe der Rechenregeln für die Exponentialfunktion $e^{x}$ beweise man für den natürlichen Logarithmus $\ln(x)$ folgende Eigenschaften:

• $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$
• $\ln \left(x^{y}\right)=y\ln(x)$

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Lösungsvorschlag

Die einfachste Möglichkeit die Äquivalenz zu beweisen, ist mittels Äquivalenzumformungen:

$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$

$e^{\ln(xy)}=e^{\ln(x)+\ln(y)}$

$xy=e^{\ln(x)}e^{\ln(y)}$

$xy=xy$

Die zweite Gleichung:

$\ln(x^{y})=y\ln(x)$

$e^{\ln(x^{y})}=e^{y\ln(x)}$

$x^{y}=(e^{\ln(x)})^{y}$

$x^{y}=x^{y}$