TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 183

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von $f(x)=(1+3x-3x^2)\cos x$ an der Stelle $x_0=1$

durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

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{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Zuerst werde ich die Funktion aufspalten:

$f(x)=\underset{g(x)}{\underbrace{(1+3x-3x^2)}}\underset{h(x)}{\underbrace{\cos x}}$

Jetzt werden wir g an der Stelle 1 entwickeln. Es wird eine äquivalente Funktion herauskommen. Dieser Schritt passiert nur, damit beim Cauchy-Produkt der Faktor $(x-1{)}^n$ herausgehoben werden kann. Zwischenschritte werde ich mir sparen.

$1-3(x-1)-3(x-1{)}^2$

Die Ableitungen des Cosinus sind -Sinus, -Cosinus, Sinus, etc. Stattdessen kann dies aber auch die n-te Ableitung als eine Verschiebung um $\frac{n\pi }{2}$ angesehen werden. Sollte das unklar sein: Plotten und selbst ansehen! Wir erhalten die Potenzreihe:

$\sum _{n\ge 0}\frac{\cos (1+\frac{n\pi }{2})}{n!}(x-1{)}^n$

Um unsere beiden Potenzreihen zu multiplizieren wenden wir das Cauchy-Produkt an.:

$\sum _{n\ge 0}(\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)(x-1{)}^n)$

Wobei die Folge a die Summanden der Potenzreihe von g und die Folge b die der Potenzreihe von h bezeichnen und wir $(x-1{)}^n$ gleich herausheben.

Wir ziehen die ersten beiden Summanden heraus und lassen somit n von 2 loslaufen. Da alle Folgeglieder nach $a_2$ gleich 0 sind, können wir die innere Summe nur bis 2 laufen lassen:

$a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)(x-1)+\sum _{n\ge 2}(\left(\sum _{k=0}^2{a}_k{b}_{n-k}\right)(x-1{)}^n)$

Nun können wir die innere Summe noch ganz auflösen:

$a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)(x-1)+\sum _{n\ge 2}(a_0{b}_n+a_1{b}_{n-1}+a_2{b}_{n-2})(x-1{)}^n$

Jetzt müssen wir nur noch einsetzen:

$\cos (1)+(\cos (1+\frac{\pi }{2})-3\cos (1))(x-1)+\sum _{n\ge 2}((\frac{\cos (1+\frac{n\pi }{2})}{n!}-\frac{3\cos (1+\frac{(n-1)\pi }{2})}{(n-1)!}-\frac{3\cos (1+\frac{(n-2)\pi }{2})}{(n-2)!})(x-1{)}^n)$

Siehe auch:Vorlage:DefinitionVorlage:Extern>

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von $f(x)=(1+3x-3x^2)\cos x$ an der Stelle $x_0=1$ durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Lösungsvorschlag

Zuerst werde ich die Funktion aufspalten:

$f(x)=\underset{g(x)}{\underbrace{(1+3x-3x^2)}}\underset{h(x)}{\underbrace{\cos x}}$

Jetzt werden wir g an der Stelle 1 entwickeln. Es wird eine äquivalente Funktion herauskommen. Dieser Schritt passiert nur, damit beim Cauchy-Produkt der Faktor $(x-1{)}^n$ herausgehoben werden kann. Zwischenschritte werde ich mir sparen.

$1-3(x-1)-3(x-1{)}^2$

Die Ableitungen des Cosinus sind -Sinus, -Cosinus, Sinus, etc. Stattdessen kann dies aber auch die n-te Ableitung als eine Verschiebung um $\frac{n\pi }{2}$ angesehen werden. Sollte das unklar sein: Plotten und selbst ansehen! Wir erhalten die Potenzreihe:

$\sum _{n\ge 0}\frac{\cos (1+\frac{n\pi }{2})}{n!}(x-1{)}^n$

Um unsere beiden Potenzreihen zu multiplizieren wenden wir das Cauchy-Produkt an:

$\sum _{n\ge 0}(\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)(x-1{)}^n)$

Wobei die Folge a die Summanden der Potenzreihe von g und die Folge b die der Potenzreihe von h bezeichnen und wir $(x-1{)}^n$ gleich herausheben.

Wir ziehen die ersten beiden Summanden heraus und lassen somit n von 2 loslaufen. Da alle Folgeglieder nach $a_2$ gleich 0 sind, können wir die innere Summe nur bis 2 laufen lassen:

$a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)(x-1)+\sum _{n\ge 2}(\left(\sum _{k=0}^2{a}_k{b}_{n-k}\right)(x-1{)}^n)$

Nun können wir die innere Summe noch ganz auflösen:

$a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)(x-1)+\sum _{n\ge 2}(a_0{b}_n+a_1{b}_{n-1}+a_2{b}_{n-2})(x-1{)}^n$

Jetzt müssen wir nur noch einsetzen:

$\cos (1)+(\cos (1+\frac{\pi }{2})-3\cos (1))(x-1)+\sum _{n\ge 2}((\frac{\cos (1+\frac{n\pi }{2})}{n!}-\frac{3\cos (1+\frac{(n-1)\pi }{2})}{(n-1)!}-\frac{3\cos (1+\frac{(n-2)\pi }{2})}{(n-2)!})(x-1{)}^n)$