TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 212

Berechnen sie ${\int }_1^2{x}^{2}dx$ mit Hilfe von Obersummen bei äquidistanter Teilung.

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Hilfreiches

Definition Obersumme:

$O_Z(f)=\sum _{i=1}^n\underset{x\in [x_i-1,x_i]}{\max }f(x)\cdot (x_i-x_{i-1})$

Lösungsvorschlag

Man stellt fest, das die $x^2$ im Intervall [1,2] streng monoton steigend ist. Darauf folgt, dass $\underset{x\in [x_i-1,x_i]}{\max }f(x)=f(x_i)$

Außerdem ist $(x_i-x_{i-1})=\Delta x$ bei äquidistanter immer gleich groß.

Daraus folgt wiederum, dass $n=\frac{1}{x_i-x_{i-1}}\Rightarrow \Delta x=\frac{1}{n}$

mit dem Wissen, kann man die Formel schon etwas umschreiben:

$O_Z(f)=\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\cdot \frac{1}{n}$

$x_i$ kann man ebenfalls anders darstellen: $x_i=x_0+i\cdot \Delta x=x_0+\frac{i}{n}$

$x_0$ ist in unserem Fall 1

Das setzt man dann in f(x) ein:

$f(x_i)=f(1+\frac{i}{n})=(1+\frac{i}{n}{)}^2=1+2\frac{i}{n}+\frac{i^2}{n^2}$

$O_Z(f)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(1+2\frac{i}{n}+\frac{i^2}{n^2})=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}1+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}2\frac{i}{n}+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{i^2}{n^2}$
$O_Z(f)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}1+\frac{2}{n^2}\sum _{i=1}^{n}i+\frac{1}{n^3}\sum _{i=1}^n{i}^2$

nun sollte man folgende Summen kennen:

$\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^{n}1& =n\\ \sum _{i=1}^{n}i& =\frac{n(n+1)}{2}\\ \sum _{i=1}^n{i}^2& =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ \end{array}$

damit ergibt sich folgende Formel

$O_Z(f)=\frac{1}{n}n+\frac{2}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}+\frac{1}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=1+\frac{(n+1)}{n}+\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{14n^2+9n+1}{6n^2}$

Und das Integral kann man nun bilden, indem man von den Obersummen den Grenzwert bildet:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{14n^2+9n+1}{6n^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{14+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^2}}{6}=\frac{7}{3}$