TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 22

Man untersuche die Folge $⟨ a_{n} ⟩_{n \in ℕ}$ (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert $lim_{n \to \infty} a_{n}$ . Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle $n \geq 0$ .
$a_{0} = 4, a_{n + 1} = \sqrt{6 a_{n} - 9}$ für alle $n \geq 0$ .

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Hilfreiches

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

Induktionsanfang (IA)
Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag

Monotonie

Es wird gezeigt, dass die Folge monoton fallend ist.

I.A.: $4 > \sqrt{6 \cdot 4 - 9} \Rightarrow 16 > 15$

I.S.: $a_{n} \geq a_{n + 1} \Rightarrow a_{n + 1} \geq a_{n + 2}$

\begin{matrix} a_{n + 1} & > a_{n + 2} \\ \sqrt{6 a_{n} - 9} & > \sqrt{6 \sqrt{6 a_{n} - 9} - 9} \\ 6 a_{n} - 9 & > 6 \sqrt{6 a_{n} - 9} - 9 \\ a_{n} & > \sqrt{6 a_{n} - 9} \\ a_{n} & > a_{n + 1} \end{matrix}

Q.E.D.

Beschränktheit

Weil die Funktion monoton fallend ist, ist sie sicherlich durch $a_{0} = 4$ nach oben beschränkt. Vermutung für die untere Schranke: $\sqrt{6 \cdot 3 - 9} = 3 \Rightarrow 3$ (geht immer so weiter).

Voraussetzung: $3 < a_{n}$
Behauptung: $3 < a_{n + 1}$
Schritt:

$\begin{matrix} 3 & < a_{n + 1} \\ 3 & < \sqrt{6 a_{n} - 9} \\ 9 & < 6 a_{n} - 9 \\ 18 & < 6 a_{n} \\ 3 & < a_{n} \end{matrix}$

Grenzwert

Sei der gesuchte Grenzwert $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ genannt. Eine Rechenregel besagt $lim_{x \to \infty} \sqrt[p]{a_{n}} = \sqrt[p]{lim_{x \to \infty} a_{n}}$ Daher ist:

$\begin{matrix} lim_{n \to \infty} a_{n + 1} \\ = & lim_{n \to \infty} \sqrt{6 a_{n} - 9} \\ = & \sqrt{lim_{n \to \infty} 6 a_{n} - 9} \\ = & \sqrt{lim_{n \to \infty} 6 a_{n} - lim_{n \to \infty} 9} \\ = & \sqrt{6 a - 9} \end{matrix}$

Weiterhin gilt ab einem ausreichend großen $n$ $lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = lim_{n \to \infty} a_{n}$ . Daher kann argumentiert werden

$\begin{matrix} lim_{n \to \infty} a_{n + 1} & = lim_{n \to \infty} a_{n} \\ lim_{n \to \infty} \sqrt{6 a_{n} - 9} & = lim_{n \to \infty} a_{n} \\ \sqrt{6 a - 9} & = a \\ 6 a - 9 & = a^{2} \\ a^{2} - 6 a + 9 & = 0 \end{matrix}$

$a_{1, 2} = 3$

Wohldefiniertheit

Da $3 < a_{n} \leq 4$ , ist der Radikand $6 a_{n} - 9$ immer positiv. Somit wird tatsächlich jedem $a_{n}$ eine reelle Zahl zugeordnet und die Folge ist wohldefiniert.

Die Probe mit Matlab ergibt für $a_{100} \approx 3.06$

Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 22.

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

$⟨ x_{n} ⟩_{n \in ℕ}$ heißt nach ${\begin{matrix} oben \\ unten \end{matrix}}$ beschränkt $⟺ \exists a \in ℝ \forall n \in ℕ : {\begin{matrix} x_{n} \leq a & obere Schranke \\ x_{n} \geq a & untere Schranke \end{matrix}$

$⟨ x_{n} ⟩_{n \in ℕ}$ heißt beschränkt, wenn diese sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt ist.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n \geq 0}$ , falls in jeder $ϵ$ -Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall ϵ > 0 \exists N (ϵ) \in ℕ \forall n > N (ϵ) : | a_{n} - a | < ϵ$ (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
In $ℝ$ (aber z.B. nicht in $ℚ$ !) gilt:
- $a_{n} ↗ : lim_{n \to \infty} a_{n} = sup (a_{n})_{n \in ℕ}$
- $a_{n} ↘ : lim_{n \to \infty} a_{n} = inf (a_{n})_{n \in ℕ}$
$lim x_{n} = x, lim y_{n} = y ⟹ {\begin{matrix} lim (x_{n} \pm y_{n}) = x \pm y \\ lim (x_{n} \cdot y_{n}) = x \cdot y \\ lim (\frac{x_{n}}{y_{n}}) = \frac{x}{y} y_{n}, y \neq 0 \end{matrix}$

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

Induktionsanfang (IA)
Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 21:37, 7. Mär. 2026 (CET)

Man untersuche die Folge $⟨ a_{n} ⟩_{n \in ℕ}$ (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert $lim_{n \to \infty} a_{n}$ . Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle $n \geq 0$ .

$a_{0} = 4, a_{n + 1} = \sqrt{6 a_{n} - 9}$ für alle $n \geq 0$ .

Gesucht mittels Vollständiger Induktion: Monotonie, Beschränktheit, Grenzwert (wenn möglich), warum wohldefiniert:

Wir schauen uns die ersten Werte der rekursiv vorgegebenen Folge $⟨ a_{n} ⟩$ an:

\begin{matrix} n = & a_{n} & n = & a_{n} & n = & a_{n} & n = & a_{n} \\ 0 & 4 & 1 & 3, 872983346 & 2 & 3, 773314203 & 3 & 3, 693221523 \\ 4 & 3, 627578964 & 5 & 3, 57288032 & 6 & 3, 526653077 & 7 & 3, 487107463 \\ 8 & 3, 452918299 & 9 & 3, 423084836 & 10 & 3, 396838091 & 11 & 3, 373578003 \\ 12 & 3, 352829853 & 13 & 3, 334213418 & 14 & 3, 317420761 & 15 & 3, 302199959 \\ 50 & 3, 111376266 & 100 & 3, 058125183 & 200 & 3, 029621768 & 500 & 3, 01196057 \end{matrix}

Monotonie

Induktionsanfang :

a_{0} = 4

und

a_{1} = \sqrt{6 \cdot a_{0} - 9} = \sqrt{15} < a_{0}

Induktionsvoraussetzung:

Es gilt für ein festes

n \geq 0 : a_{n} > a_{n + 1} ⟹ a_{n + 1} > a_{n + 2}

.

Anmerkung: Der Wurzelausdruck kann nicht negativ werden, daher gibt es beim Quadrieren mit

\leq, \geq

keine Probleme.

\begin{matrix} a_{n + 1} = \sqrt{6 \cdot a_{n} - 9} > a_{n + 2} = \sqrt{6 \cdot (\sqrt{6 \cdot a_{n} - 9}) - 9} ⟹ \\ ⟹ 6 \cdot a_{n} - 9 > 6 \cdot (\sqrt{6 \cdot a_{n} - 9}) - 9 ⟹ a_{n} > \sqrt{6 \cdot a_{n} - 9} ⟹ a_{n} > a_{n + 1} . \end{matrix}

$⟹$ Das heißt die Folge ist streng monoton fallend.

Beschränktheit

Der Anfangswert $a_{0} = 4$ und die Folge ist streng monoton fallend. D.h., dass die Folge durch $a_{0}$ nach oben beschränkt ist $: \forall a_{n} : a_{n} \leq 4$ .

Wir berechnen uns einmal den Fixpunkt:

a = \sqrt{6 \cdot a - 9} ⟹ a^{2} = 6 \cdot a - 9 ⟹ a^{2} - 6 \cdot a + 9 = (a - 3)^{2} = 0

.

D.h. wir vermuten den Grenzwert bei $3$ . D.h. Wir müssen noch zeigen, dass diese Stelle $3$ die untere Schranke ist.

Wir werden wieder eine vollständige Induktion durchführen:

Induktionsanfang: $a_{0} > 3$

Induktionsvoraussetzung:

Es gilt für ein festes

n \geq 0 : a_{n} > 3 ⟹ a_{n + 1} > 3

.

\begin{matrix} 3 < a_{n + 1} = \sqrt{6 \cdot a_{n} - 9} | .^{2} ⟹ 9 < 6 \cdot a_{n} - 9 ⟹ 18 < 6 \cdot a_{n} ⟹ 3 < a_{n} \end{matrix}

$⟹$ Das heißt die Folge ist nach unten beschränkt. Wir wissen aber noch nicht, ob $3$ die untere Schranke ist

Wohldefiniertheit

Da für alle Folgenglieder gilt $a_{n} > 3$ , ist der Ausdruck unter der Wurzel $6 \cdot a_{n} - 9$ nach unten beschränkt mit dem Wert $9$ . D.h. die Folge ist in $ℝ$ wohldefiniert.

Grenzwert

Die Folge ist streng monoton fallend und nach unten beschränkt. Dass heißt die Folge konvergiert. Der Grenzwert $(a = lim_{n \to \infty} a_{n})$ erfüllt die Fixpunktgleichung:

a = \sqrt{6 \cdot a - 9} ⟹ a^{2} - 6 \cdot a + 9 = (a - 3)^{2} = 0 ⟹ a = 3

.

$⟹$ Der Grenzwert dieser Folge ist $3$ . $◼$

Links

Wikipedia:

Weiterführende Links: Wohldefiniertheit
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=175602 Grenzwert rekursiver Folgen
http://www.matheboard.de/archive/2315/thread.html
http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!185:Rekursive_Folgen
Rechenregel für Wurzel (9. Regel)
http://www.mathebibel.de/grenzwerte-rechenregeln
Beweis für Wurzelregel:
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Grenzwerts%C3%A4tze:_Grenzwert_von_Folgen_berechnen#Die_Wurzelregel
Weiterführender Beweis für Wurzelmonotonieungleichung:
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Rechenregeln_der_Wurzel#Monotonieungleichung
Induktion
https://www.youtube.com/watch?v=40UQ5HT0mVo
https://www.mathelounge.de/166431/rekursive-folge-monotonie-%26-grenzwert

Ähnliche Beispiele:

TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 22

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