TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 260

Man berechne:

${\int }_1^e\frac{dx}{x\sqrt{\ln x}}$

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Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Potenzintegral

Potenzintegral

Integral einer Potenz:

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$

hilfreiches YouTube Video

Lösung(svorschlag)

von --Drgruselglatz (Diskussion) 17:52, 28. Mai 2018 (CEST)

Zuerst substituiere man
$\ln x=t.$

Daraus ergibt sich nach beidseitigem Ableiten

$\frac{1}{x}=\frac{dt}{dx}$

bzw.

$dx=xdt.$.

Die neuen Grenzen erhält man durch Einsetzen der alten Grenzen in die Substitution

$t_{\text{unten}}=\ln (1)=0$

$t_{\text{oben}}=\ln (e)=1.$

Nach dem Einsetzen der Substitution in das ursprüngliche Integral ist nun noch

${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{t}}dt$

zu lösen. Nach der äquivalenten Umformung

$\frac{1}{\sqrt{t}}=t^{-\frac{1}{2}}.$

ergibt sich nun unter Zuhilfenahme der Potenzregel (siehe oben)

${\int }_0^1{t}^{-\frac{1}{2}}dt=[2t^{\frac{1}{2}}{]}_0^1=2-0=2.$

Alternativ kann man natürlich auch zuerst das unbestimmte Integral lösen und danach für die urspünglichen Grenzen lösen.