TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 260

Man berechne:

$\int _{1}^{e}{\frac {dx}{x{\sqrt {\ln {x}}}}}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\int f{\bigl (}u(x){\bigr )}\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du$ mit $u=u(x)$ (Satz 5.41)

Integral einer Potenz:

\int x^{n}\;dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\quad (n\neq -1)

von --Drgruselglatz (Diskussion) 17:52, 28. Mai 2018 (CEST)

Zuerst substituiere man
$\ln {x}=t.$

Daraus ergibt sich nach beidseitigem Ableiten

${\frac {1}{x}}={\frac {dt}{dx}}$

bzw.

$dx=xdt.$ .

Die neuen Grenzen erhält man durch Einsetzen der alten Grenzen in die Substitution

$t_{\text{unten}}=\ln {(1)}=0$

$t_{\text{oben}}=\ln {(e)}=1.$

Nach dem Einsetzen der Substitution in das ursprüngliche Integral ist nun noch

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {t}}}dt$

zu lösen. Nach der äquivalenten Umformung

${\frac {1}{\sqrt {t}}}=t^{-{\frac {1}{2}}}.$

ergibt sich nun unter Zuhilfenahme der Potenzregel (siehe oben)

$\int _{0}^{1}t^{-{\frac {1}{2}}}dt={\bigg [}2t^{\frac {1}{2}}{\bigg ]}_{0}^{1}=2-0=2.$

Alternativ kann man natürlich auch zuerst das unbestimmte Integral lösen und danach für die urspünglichen Grenzen lösen.