TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 317

Sei $f(x,y)=\frac{x\cos \frac{1}{x}+y\sin y}{2x-y}$ für $0\ne x\ne 2y$.

Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte $\underset{y\to 0}{lim}\underset{x\to 0}{lim}f(x,y)$ und $\underset{x\to 0}{lim}\underset{y\to 0}{lim}f(x,y)$.

Existiert der Grenzwert $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}f(x,y)$ ?

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von m-zero

$\underset{y\to 0}{lim}(\underset{x\to 0}{lim}f(x,y))=\underset{y\to 0}{lim}\frac{y\sin y}{-y}=\underset{y\to 0}{lim}-\sin y=0$

$\underset{x\to 0}{lim}(\underset{y\to 0}{lim}f(x,y))=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\cos \frac{1}{x}}{2x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos \frac{1}{x}}{2}$ ist wegen $\frac{1}{x}$ undefiniert.

Die iterierten Grenzwerte sind also verschieden. Aus der Tatsache dass $\underset{x\to 0}{lim}(\underset{y\to 0}{lim}f(x,y))$ nicht existiert folgt, dass auch $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}f(x,y)$ nicht existiert.

Bemerkung von 2#4u

Es ist wohl weniger wegen $\frac{1}{x}$ undefiniert, aber eher weil $\cos \frac{1}{x}$ bei x gegen 0 zwischen -1 und +1 divergiert. Siehe auch: [1]

Links

• Diskussion Informatik-Forum SS02 Beispiel 9 (alt)
• Diskussion Informatik-Forum SS03 Beispiel 337 (alt)