TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 318

Sei

$f(x,y)=\frac{x+y\cos \frac{1}{y}}{x+y}$

für $0\ne y\ne -x$.Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte

$\underset{y\to 0}{lim}\underset{x\to 0}{lim}f(x,y)$ und $\underset{x\to 0}{lim}\underset{y\to 0}{lim}f(x,y)$.

Existiert der Grenzwert $li{m}_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ ?

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Theorie

Ein iterierter Grenzwert ist nichts anderes als $\underset{y\to 0}{lim}(\underset{x\to 0}{lim}(f(x,y)))$ und vice-versa $\underset{x\to 0}{lim}(\underset{y\to 0}{lim}(f(x,y)))$.

Lösungsansatz

(überprüft in Übung mit Prof. Dr. Länger)

Machen wir zuerst $\underset{x\to 0}{lim}(\underset{y\to 0}{lim}(f(x,y)))$

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x+y\cos \frac{1}{y}}{x+y}=\frac{y\cos \frac{1}{y}}{y}=\cos \frac{1}{y}$

$\underset{y\to 0}{lim}\cos \frac{1}{y}$ ist nicht definiert, da $\cos \in [-1,1]$

Jetzt $\underset{y\to 0}{lim}(\underset{x\to 0}{lim}(f(x,y)))$

$\underset{y\to 0}{lim}\frac{x+y\cos \frac{1}{y}}{x+y}=\frac{x}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{lim}1=1$

Da $\underset{y\to 0}{lim}(\underset{x\to 0}{lim}(f(x,y)))\ne \underset{x\to 0}{lim}(\underset{y\to 0}{lim}(f(x,y)))$ existier ein gemeinsamer Grenzwert $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}f(x,y)$ nicht!

Links

• Diskussion Informatik-Forum SS02 Beispiel 10 (alt)
• Lösung Informatik-Forum SS08 Beispiel 86