TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 4

Man finde alle Häufungspunkte der Folge $a_n=(-1{)}^n+\cos \frac{n\pi }{2}(n\ge 0)$.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Vorschlag von Martin

$a_0=2$

$a_1=-1$

$a_2=0$

$a_3=-1$

$a_4=2$

$a_5=a_1$...

Die Häufungspunkte sind also 2, -1 und 0.

(Das ist die korrekte Lösung! Siehe letzen Kommentar von unterer "Lösung")

-- Martin

Es kann - ähnlich wie im Kommentar unten angemerkt - sogar bewiesen werden, dass dies alle sind und auch, dass nie andere Folgeglieder auftreten. Dazu werden Teilfolgen gebildet. Es könnte z.B. jedes vierte Folgeglied betrachtet werden. Das wurde vom Tutor vorgerechnet:

$a_{4n}=(-1{)}^{4n}+\cos \left(\frac{4n\pi }{2}\right)=1+\underset{\text{immer 1}}{\underbrace{\cos (n\cdot 2\pi )}}=2$

Daher ist 2 ein Häufungspunkt. Analog sollte es für $a_{4n+1}$ usw. funktionieren.

Vorschlag von stefanjp (verbessert von Kaufi und Friday)

Man zerlege die Folge $a_n$ in $b_n+c_n$

$b_n=(-1{)}^n=1,-1,1,\mathrm{...})$

$c_n=cos(\frac{n\pi }{2})=(1,0,1,0,\mathrm{...})$

Wie man auf $b_n=(-1{)}^n=(1,-1,1,\mathrm{...})$ kommt, dürfte klar sein. (gerader Exponent => 1, ungerader Exponent => -1)

Um auf $c_n=cos(\frac{n\pi }{2})=(1,0,-1,0,\mathrm{...})$ zu kommen, betrachte man die Werte, welche die Folge im Einheitskreis annimmt. Eine Erhöhung von n um 1, entspricht einer 1/4 Drehung im Einheitskreis. $c_0=1$ und bei jeder weiteren Drehung von $\frac{\pi }{2}=90^{\circ }$ ist der Kosinus abwechselnd 0 und 1.

Addiert man nun die 2 Teilfolgen, ergibt das: $a_n=b_n+c_n=(-1{)}^n+cos(\frac{n\pi }{2})=(2,-1,0,-1,\mathrm{...})$

-- stefanjp

Edit von Friday: Wie Kaufi und ein zweiter Benutzer ohne Namen bin auch ich unabhängig auf diese Lösung gekommen, zuvor hatte stefanjp für $c_n=cos(\frac{n\pi }{2})=(1,0,1,0,\mathrm{...})$was leider nicht richtig ist. Zusätzlich stimmt auch diese Korregierte Lösung mit der Lösung von Martin überein. (04.06.2020 20:42 CEST Friday)

Lösungsvorschlag von Padraig

Siehe https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_1_2022S.pdf für meinen Lösungsansatz.

Anmerkung: Laut Panholzer sollte es schon reichen, zu sagen, dass der Cosinus alle $2\pi$ iteriert, um anschließend gleich alle 4 möglichen Werte mit $a_n$ auszurechnen. Ein Zerlegen in Teilfolgen ist somit nicht nötig.

-- Saturday 26.03.2022 09:00 (CEST)

Lösungsvorschlag von Milos

$a_n=(-1{)}^n+cos(\frac{n\pi }{2})=b_n+c_n$

$b_n=(-1{)}^n=(1,-1,1,-1,\mathrm{...})$

$c_n=cos(\frac{n\pi }{2})=(1,0,-1,0,\mathrm{...})$

Somit haben wir für $b_n$ zwei lösungen:

$b_{2k+0}=1$

$b_{2k+1}=-1$

Für $c_n$ haben wir 4 Lösungen 1,0,-1,0, die sich wiederholen, wobei man die 0 auf eine Lösung 2k+1 zusammenfügen kann.

$c_{4k+0}=1$

$c_{4k+2}=-1$

$c_{2k+1}=0$

Somit haben wir für $a_n=b_n+c_n$ drei Lösungen.

$b_{2k+0}+c_{4l+0}=1+1=2$

$b_{2k+0}+c_{4l+2}=1+(-1)=0$

$b_{2k+1}+c_{2k+1}=-1+0=-1$