TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 97

Man untersuche, für welche $x\in \mathbb {R}$ — die folgende Funktionenreihe konvergiert:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+1}}(x+1)^{n}$

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{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst kann man aus der Potenzreihe raus lesen dass:

$a_{n}={\frac {n}{n^{2}+1}}$

$x_{0}=-1$ (Entwicklungspunkt)

Jetzt rechnen wir den Konvergenzradius aus durch Anwendung des Quotientenkriteriums:

$R={\frac {1}{\lim _{n\to \infty }|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}|}}={\frac {1}{\lim _{n\to \infty }|{\frac {\frac {n+1}{(n+1)^{2}+1}}{\frac {n}{n^{2}+1}}}|}}={\frac {1}{\lim _{n\to \infty }|{\frac {n^{3}+n^{2}+n+1}{n^{3}+2n^{2}+2n}}|}}={\frac {1}{1}}=1$

Die Potenzreihe konvergiert also wenn |x+1|<1, also $x\in (-2,0)$

ANMERKUNG von Stefan:

Wenn x=-2 bzw. x=0 ist, haben wir bei |x+1| < 1 ja 1 < 1, was nicht stimmt! Wieso gilt dann $x\in (-2,0)$?

ANTWORT: In diesem Fall bedeuten die runden Klammern, dass die beiden Zahlen nicht miteinbezogen sind. Es gilt somit $x\in [-1.9999999....,0.00000....0001]$

ANMERKUNG von Georg:

Laut Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe#Konvergenzradius) sollte es $R=\lim _{n\to \infty }|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}|=\lim _{n\to \infty }|{\frac {\frac {n+1}{(n+1)^{2}+1}}{\frac {n}{n^{2}+1}}}|=\lim _{n\to \infty }|{\frac {n^{3}+n^{2}+n+1}{n^{3}+2n^{2}+2n}}|=1$ heißen, entweder ich hab da was ned verstanden oder du hast die beiden Formeln vermischt (und bist durch Glück auf das Gleiche Ergebnis gekommen).

ANMERKUNG von Freitach:

Georg, du hast da einen Fehler drinnen. Schau dir die von dir verlinkte Wikipedia-Seite nochmal an!

Das hier ist kein normales Quotientenkriterium! Achtung!!!

$R=\lim _{n\to \infty }|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}|$ (in diesem Fall falsch!) ist nicht dasselbe wie $R=\lim _{n\to \infty }|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}|$ (richtig)

Ohne mir weiter darüber Gedanken gemacht zu haben, nehme ich an, dass enris Lösungsweg genau deshalb funktioniert, da er durch den Bruch den Kehrwert erhält :)

Ändert aber nichts daran, dass ich seine Formel auch nirgends finden konnte, es also blanker Zufall sein könnte.

Was er gemacht hat ist richtig. Im Buch steht, dass man statt dem Wurzelkriterium auch das Quotientenkriterium in Limesform verwenden darf.

Stimmt nicht, auf Seite 157 (3. Auflage) steht lediglich dass der Konvergenzradius oftmals mit dem Quotientenkriterium in Limesform berechnet werden kann. D.h. im Sinne von $\lim _{n\to \infty }|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$, nicht als Ersatz für das Wurzelkriterium. Siehe Bsp. 4.54.

Ergänzung

Anmerkung: Die Summe muss von n=1 bis $\infty$ gehen, da sonst auch die Monotonie Äquivalenz-Ungleichung hinkt (+lt Angabe)

Es bleibt noch zu untersuchen wie sich die Reihe verhält falls x = -2 und falls x = 0.

x = -2:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {n}{n^{2}+1}}$ ist eine alternierende Reihe.

${\frac {n}{n^{2}+1}}\geq {\frac {n+1}{(n+1)^{2}+1}}$

$\Leftrightarrow n(n+1)^{2}+n\geq (n+1)(n^{2}+1)$

$\Leftrightarrow n^{3}+2n^{2}+2n\geq n^{3}+n^{2}+n+1$

$\Leftrightarrow n^{2}+n\geq 1$

${\frac {n}{n^{2}+1}}$ ist monoton fallend.

Aus dem Leibnitz-Kriterium folgt nun die Konvergenz der Reihe.

x = 0, $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+1}}$

es gilt ${\frac {n}{n^{2}+1}}\geq {\frac {n}{2n^{2}}}={\frac {1}{2n}},\forall n>0$

Die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ ist eine divergente Minorante, somit ist auch $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+1}}$ divergent.

Die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+1}}(x+1)^{n}$ konvergiert wenn $x\in [-2,0)$

Lösungsvorschlag von Padraig

Hier noch ein Lösungsvorschlag meinerseits, welchen ich mir intuitiv zusammengereimt habe, wobei wir lediglich das Quotientenkriterium anwenden.

$a_{n+1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{(n+1)^{2}+1}}(x+1)^{n+1}$

$|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}|=|{\frac {{\frac {n+1}{n^{2}+2n+2}}{\cancel {(x+1)^{n+1}}}}{{\frac {n}{n^{2}+1}}{\cancel {(x+1)^{n}}}}}|$

$|{\frac {(n+1)(n^{2}+1)}{n^{3}+2n^{2}+2n}}(x+1)|=|{\frac {n^{3}+n^{2}+n+1}{n^{3}+2n^{2}+2n}}(x+1)|$

$|{\frac {n^{3}x+n^{2}x+nx+x+n^{3}+n^{2}+n+1}{n^{3}+2n^{2}+2n}}|=|{\frac {x+{\frac {1}{n}}x+{\frac {1}{n^{2}}}x+{\frac {1}{n^{3}}}x+1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}}}{1+{\frac {2}{n}}+{\frac {2}{n^{2}}}}}|\rightarrow |{\frac {x+1}{1}}|=|x+1|<1$ w.A. für $x\in (-2,0)$

--Padraig (Diskussion) 23:30, 24. Apr. 2022 (CEST)