TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 114

Mit Hilfe der Rechenregeln für die Exponentialfunktion $e^{x}$ und den natürlichen Logarithmus $ln(x)$ beweise man für eine beliebige Basis a > 0 die Darstellung:

$a^{x}=e^{x*ln(a)}$

$log_{a}(x)=ln(x)/ln(a)$

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{{Beispiel|1=
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag von jino[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1)
$a^{x}=e^{x*ln(a)}$
$a^{x}=e^{ln(a^{x})}$ ... e^ln() löst sich auf
$a^{x}=a^{x}$

Beispiel 2)
$log_{a}(x)={\frac {ln(x)}{ln(a)}}$

Einführung der Hilfsvariable L
$L:=log_{a}(x)....x=a^{L}$
$log_{a}(x)={\frac {ln(a^{L})}{ln(a)}}$
$log_{a}(x)={\frac {L*ln(a)}{ln(a)}}$
$log_{a}(x)=L$
$log_{a}(x)=log_{a}(x)$