TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 119

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Man skizziere den Verlauf der Funktion f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x) = \sin \frac{1}{x} und beweise, dass f(x) an der Stelle x_0 = 0 keinen Grenzwert besitzt, indem man die beiden Folgen x_n = \frac{1}{n \pi} und x_n = \frac{1}{2 n \pi + \frac{\pi}{2}} betrachtet.

Lösungsvorschlag von Manül[Bearbeiten]

Nullfolge checken:

\lim_{n \to \infty} (x_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \pi} = 0

\lim_{n \to \infty} (x_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 n \pi + \frac{\pi}{2}} = 0

Einsetzen:

\lim_{n \to \infty} \sin\frac{1}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \sin(n \pi) = 0, denn \sin(n \pi)=0 für alle n \in \mathbb N

\lim_{n \to \infty} \sin\frac{1}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \sin(2 n \pi + \frac{\pi}{2}) =  1 , denn \sin(2 n \pi + \frac{\pi}{2})=1 für alle n \in \mathbb N

0 \neq 1 \Rightarrow \lim_{x \to 0 }f(x) existiert nicht.