TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 129

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Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort f'(x):

f(x) = \frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{\sqrt{x^2-5x+2}}

Lösungsvorschlag von Schakal[Bearbeiten]

Analysiere Stetigkeit[Bearbeiten]

f(x) = \frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{\sqrt{x^2-5x+2}} = \frac{\sqrt{(x-2)^2}}{\sqrt{x^2-5x+2}}=\frac{|x-2|}{\sqrt{x^2-5x+2}}

Wann wäre diese Funktion nicht stetig:

  • Nenner = 0
  • Oder Nenner \in\mathbb{C}(negative Wurzel). Da wir ja mit reellen Funktionen rechnen.

Daher müssen wir die quadratische Gleichung innerhalb der Wurzel Lösen.

x^2-5x+2=0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{8}{4}}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2} \Rightarrow f(x)=\frac{|x-2|}{\sqrt{(x-\frac{5-\sqrt{17}}{2})(x-\frac{5+\sqrt{17}}{2}})}\Rightarrow x>\frac{5+\sqrt{17}}{2} \vee x<\frac{5-\sqrt{17}}{2}

Anmerkungen:

  • Wieso ist |x-2| bei x = 2 unstetig?
    • Ist stetig habe hab da Stetigkeit mit Differenzierbakreit vermsicht. Aber es gilt Ableitung für x=2 existiert nicht.
  • Um Verwirrungen zu vermeiden, sollte angemerkt werden dass f(x) in den oben angegebenen Fällen (Untersuchung des Nenners) stetig ist
  • Stetigkeit vs. Differenzierbarkeit: Eine im Punkt x0 differenzierbare Funktion ist dort auch stetig. Die Umkehrung gilt jedoch nicht! -> Wozu die Untersuchung auf die Stetigkeit, wenn die Untersuchung auf Differenzierbarkeit gefragt ist? Es wurde lediglich Definitionsbereich der gegebenen Funktion festgestellt, Differenzierbarkeit beweist man mit der Grenzwertrechnung.

Ableitung[Bearbeiten]

Da kann man jetzt entweder nach der Produktregel oder Quotientenregel vorgehen.

f'(x)=1\cdot(x^2-5x+2)^{-\frac{1}{2}}+(|x-2|)(-\frac{1}{2})(x^2-5x+2)^{-\frac{3}{2}}(2x-5)

Für x<2

f'(x)=-1\cdot(x^2-5x+2)^{-\frac{1}{2}}+(|x-2|)(-\frac{1}{2})(x^2-5x+2)^{-\frac{3}{2}}(2x-5)

Das kann man jetzt noch weiter vereinfachen und auf einen Bruch bringen. Wenn richtig gerechnet wurde, ist das ident mit der Lösung Quotientenregel.

Links[Bearbeiten]

Ähnliche Beispiele: