Man diskutiere die Funktion $f(x)=x^{2}e^{-x^{2}}$ (d. h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte,
Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, ...) und skizziere den Funktionsgraphen.

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Lösungsvorschlag 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

von --daJu

1. Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$f(x)=x^{2}e^{-x^{2}}$

$f'(x)={\frac {d}{dx}}[x^{2}]*e^{-x^{2}}+x^{2}*{\frac {d}{dx}}[e^{-x^{2}}]$

$=2xe^{-x^{2}}+x^{2}e^{-x^{2}}*{\frac {d}{dx}}[-x^{2}]$

$=2xe^{-x^{2}}-2x^{3}e^{-x^{2}}$

$f'(x)=2x(1-x^{2})e^{-x^{2}}$

2. Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$f''(x)={\frac {d}{dx}}[2x(1-x^{2})e^{-x^{2}}]$

$=2{\frac {d}{dx}}[x(1-x^{2})e^{-x^{2}}]$

$=2({\frac {d}{dx}}[x](1-x^{2})e^{-x^{2}}+x{\frac {d}{dx}}[1-x^{2}]e^{-x^{2}}+x(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}[e^{-x^{2}}])$

...

$f''(x)=e^{-x^{2}}(4x^{4}-10x^{2}+2)$

Extremwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$f'(x)=0=2x(1-x^{2})e^{-x^{2}}$

$2x=>x_{1}=0$

$(1-x^{2})=>x_{2|3}=\pm 1$

$E_{1}(0/0),E_{2}(1/{\frac {1}{e}}),E_{3}(-1/{\frac {1}{e}})$

Wendepunkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$f''(x)=e^{-x^{2}}(4x^{4}-10x^{2}+2)$

$4x^{4}-10x^{2}+2=0$

$x^{4}-{\frac {10}{4}}x^{2}-{\frac {2}{4}}=0$

x^2 durch y ersetzen/substituieren (Biquadratische Gleichung glaub ich):

$y^{2}-{\frac {10}{4}}y-{\frac {2}{4}}=0$

$_{1}y_{2}={\frac {10}{8}}\pm {\sqrt {{\frac {({\frac {10}{4}})^{2}}{4}}-{\frac {2}{4}}}}$

... daraus folgt ...

$y_{1}={\frac {5+{\sqrt {17}}}{4}}$

$y_{2}={\frac {5-{\sqrt {17}}}{4}}$

... y wieder durch x^2 ersetzen/rücksubstituieren ...

$_{1|2}x_{3|4}={\sqrt {_{1}y_{2}}}$

$_{1}x_{2}=\pm {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {17}}}{4}}}=\pm 1,51022$

$_{3}x_{4}=\pm {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {17}}}}{2}}=\pm 0,46821$

Diese Werte in $f(x)=x^{2}e^{-x^{2}}$ einsetzen und man erhält die 4 Wendepunkte.

Anmerkung: Hier muss man zusätzlich überprüfen, ob die 3. Ableitung für alle 4 gefundenen x ungleich null ist. Nur dann sind es Wendepunkte. Siehe Buch Satz 5.32.

Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn $f(x)=f(-x)$ für alle x gilt, besteht eine Achsensymmetrie.

$x^{2}e^{-x^{2}}=(-x)^{2}e^{-}{-x^{2}}$

Dies gilt durch die ^2 für alle x, somit ist die Symmetrie gegeben.

Grenzwert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\lim _{x\to \infty }[x^{2}e^{-x^{2}}]=\lim _{x\to \infty }[x^{2}]\lim _{x\to \infty }[e^{-x^{2}}]=0*\infty =0$

Anmerkung: $0*\infty$ ist ein unbestimmter Ausdruck (https://de.wikipedia.org/wiki/Unbestimmter_Ausdruck_(Mathematik)#Definition), das darf man nicht mit 0 gleichsetzen. Hier muss stattdessen die Regel von de l'Hospital angewandt werden.