TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 154

Man diskutiere die Funktion definiert durch $f(x)=e^{-1/x^{2}}$ für $x\neq 0$ und $f(0)=0$ (d.h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften,...) und skizziere den Funktionsgraphen.

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Lösung

Ableitungen: http://www.ableitungsrechner.net/#expr=e%5E%28-1%2Fx%5E2%29

$f(x)=e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}$

$f'(x)=2{\frac {e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}}{x^{3}}}$

$f''(x)=4{\frac {e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}}{x^{6}}}-6{\frac {e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}}{x^{4}}}$

$f'''(x)=24x^{-5}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}-36x^{-7}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}+8x^{-9}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}$

Extremstellen

Die Funktion 1/x ist an der Stelle 0 weder stetig noch differenzierbar. Folglich ist f(x) als Zusammensetzung von Funktionen stetig und differenzierbar an allen Stellen außer 0. Allerdings sind sowohl links- als auch rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle 0 gleich 0. Deshalb hat die Definition f(0)=0 aus der Angabe zur Folge, dass f(x) stetig und differenzierbar für alle x ist. Analog kann man die Stelle 0 für die Ableitungen argumentieren.

Da eine e-Funktion nie Null wird, ist die einzige Nullstelle von f'(x) durch unsere Definition an der Stelle x=0. Auch die zweite Ableitung ist an dieser Stelle 0. Nachdem allerdings f(x)>0 ist für alle x außer 0, muss bei 0 trotzdem ein Minimum sein.

$f''(x)$ hat Nullstellen (Herausheben und Lösungsformel) bei $\pm {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}$. Außerdem sollten wir auch $f''(0):=0$ setzen.

$f'''(x)$ ist an den Stellen $\pm {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}$ ungleich Null, weshalb es sich tatsächlich um Wendepunkte handelt.

Grenzwert und Symmetrie

Weil $\lim \limits _{x\to \pm \infty }-{\frac {1}{x^{2}}}=0$ ist der Grenzwert der Funktion $e^{0}=1$. Durch das Quadrat beim x folgt f(x)=f(-x) für alle x. Daher ist die Funktion ist symmetrisch bezüglich der y-Achse (gerade Funktion).