TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 176

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Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f(x) = (1 - x^2) \cos x an der Stelle x_0 = 0 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Nützlich für dieses Beispiel ist die Potenzreihenentwicklung von \cos x. Diese wird zunächst eingesetzt und die resultierende Reihe umgeformt.

\begin{align}
	    f(x) & = \cos x - \cos x x^2  \\
	    	 & = \sum_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{2n!} - 
	    	 \sum_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n} }{2n!} x^2  \\
	    	 & = \sum_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{2n!} +
	    	 \sum_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^{n+1} \frac{x^{2n+2}}{2n!} \\
	    	 & = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{2n!} +
	    	  \sum_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^{n+1} \frac{x^{2n+2}}{2n!}
\end{align}
Indexverschiebung mit \tilde{n} = n -1 im zweiten Term liefert dann

\begin{align}
	    f(x) & = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{2n!} +
	     		\sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)}^{n} \frac{x^{2n}}{(2n-2)!} \\
	     	 & = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)}^n \left(\frac{1}{2n!} + \frac{1}{(2n-2)!}\right)
	     	 	x^{2n}
\end{align}

Lösungsvorschlag von Ryus[Bearbeiten]

Obige Lösung ist zwar korrekt, aber sie bildet nicht, wie eigentlich verlangt, das Produkt zweier Potenzreihen. Dementsprechend hier eine alternative Lösung:

Wir brauchen also zwei Potenzreihen, deren Produkt gleich (1 - x^2) \cos x ist. Dementsprechend bietet es sich an, eine Potenzreihe für (1 - x^2) und eine für \cos x aufzustellen und diese dann mittels Cauchyprodukt zu multiplizieren.

Als nächsten stellen wir fest, dass (1 - x^2) bereits eine Potenzreihe mit nur endlich vielen Gliedern != 0 ist.

Die Potenzreihe für den Cosinus lässt sich über die Taylorreihe sehr schnell bestimmen, siehe dazu Beispiel 152. Er lautet:

\cos x = \sum_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}

Um diese beiden Potenzreihen nun zu multiplizieren, wenden wir das Cauchyprodukt an:

(\sum_{n \geq 0} {a_n})(\sum_{n \geq 0} {b_n}) = \sum_{n \geq 0} (\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k})

Sei nun \sum_{n \geq 0} a_n = 1 - x^2 und \sum_{n \geq 0} b_n = \cos x = \sum_{n \geq 0} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}

Um das Cauchyprodukt dieser beiden Reihen zu bilden gehen wir nun wie folgt vor. Wir ziehen das erste Glied der äußeren Summe heraus und verkürzen die innere Summe.

\sum_{n \geq 0} (\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}) = a_0 b_0 + \sum_{n \geq 1} (\sum_{k=0}^{1} a_k b_{n-k})

Die innere Summe können wir statt bis n nur bis 1 gehen lassen, da ab dem Glied mit dem Index 2 a_n = 0 gilt.

Dies können wir nun einfacher anschreiben als:

a_0 b_0 + \sum_{n \geq 1} (\sum_{k=0}^{1} a_k b_{n-k}) = a_0 b_0 + \sum_{n \geq 1} (a_0 b_n + a_1 b_{n-1})

Da a_0 = 1 und a_1 = -x^2:

a_0 b_0 + \sum_{n \geq 1} (a_0 b_n + a_1 b_{n-1}) = b_0 + \sum_{n \geq 1} ({b_n - x^2 b_{n-1}})

Jetzt setzen wir b_n ein.

\frac{x^0}{0!} + \sum_{n \geq 1} \left({(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} - x^2 {(-1)}^{n-1} \frac{x^{2(n-1)}}{(2(n-1)!}\right) = 1 + \sum_{n \geq 1} \left({(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} - x^2 {(-1)}^{n-1} \frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}\right)

Herausheben von (-1)^n:

1 + \sum_{n \geq 1} \left({(-1)}^n \left(\frac{x^{2n}}{(2n)!} + x^2 \frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}\right)\right)

Herausheben von x^{2n}

1 + \sum_{n \geq 1} \left({(-1)}^n \left(\frac{1}{(2n)!} + x^2 \frac{x^{-2}}{(2n-2)!}\right) x^{2n}\right) = 1 + \sum_{n \geq 1} \left({(-1)}^n \left(\frac{1}{(2n)!} + \frac{1}{(2n-2)!}\right) x^{2n}\right)

Um zu zeigen, dass es sich hierbei wirklich um eine Potenzreihe handelt, kann man sie auch wie folgt anschreiben:

\sum_{n \geq 0} {c_n} x^n

wobei

c_n = \begin{cases}
1 & \quad \text{falls } n = 0\\
0 & \quad \text{falls } n \text{ ungerade}\\
(-1)^\frac{n}{2} (\frac{1}{n!} + \frac{1}{(n-2)!}) & \quad \text{sonst}\\
\end{cases}

--Ryus (Diskussion) 12:29, 14. Mai 2016 (CEST)