TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 183

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von $f(x)=(1+3x-3x^{2})\cos x$ an der Stelle $x_{0}=1$

durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Zuerst werde ich die Funktion aufspalten:

$f(x)=\underbrace {(1+3x-3x^{2})} _{g(x)}\underbrace {\cos x} _{h(x)}$

Jetzt werden wir g an der Stelle 1 entwickeln. Es wird eine äquivalente Funktion herauskommen. Dieser Schritt passiert nur, damit beim Cauchy-Produkt der Faktor $(x-1)^{n}$ herausgehoben werden kann. Zwischenschritte werde ich mir sparen.

$1-3(x-1)-3(x-1)^{2}$

Die Ableitungen des Cosinus sind -Sinus, -Cosinus, Sinus, etc. Stattdessen kann dies aber auch die n-te Ableitung als eine Verschiebung um ${\frac {n\pi }{2}}$ angesehen werden. Sollte das unklar sein: Plotten und selbst ansehen! Wir erhalten die Potenzreihe:

$\sum _{n\geq 0}{\frac {\cos(1+{\frac {n\pi }{2}})}{n!}}(x-1)^{n}$

Um unsere beiden Potenzreihen zu multiplizieren wenden wir das Cauchy-Produkt an.:

$\sum _{n\geq 0}\left(\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)(x-1)^{n}\right)$

Wobei die Folge a die Summanden der Potenzreihe von g und die Folge b die der Potenzreihe von h bezeichnen und wir $(x-1)^{n}$ gleich herausheben.

Wir ziehen die ersten beiden Summanden heraus und lassen somit n von 2 loslaufen. Da alle Folgeglieder nach $a_{2}$ gleich 0 sind, können wir die innere Summe nur bis 2 laufen lassen:

$a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})(x-1)+\sum _{n\geq 2}\left(\left(\sum _{k=0}^{2}a_{k}b_{n-k}\right)(x-1)^{n}\right)$

Nun können wir die innere Summe noch ganz auflösen:

$a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})(x-1)+\sum _{n\geq 2}(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+a_{2}b_{n-2})(x-1)^{n}$

Jetzt müssen wir nur noch einsetzen:

$\cos(1)+\left(\cos(1+{\frac {\pi }{2}})-3\cos(1)\right)(x-1)+\sum _{n\geq 2}\left(\left({\frac {\cos(1+{\frac {n\pi }{2}})}{n!}}-{\frac {3\cos(1+{\frac {(n-1)\pi }{2}})}{(n-1)!}}-{\frac {3\cos(1+{\frac {(n-2)\pi }{2}})}{(n-2)!}}\right)(x-1)^{n}\right)$

Siehe auch:Vorlage:DefinitionVorlage:Extern>

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von $f(x)=(1+3x-3x^{2})\cos x$ an der Stelle $x_{0}=1$ durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Lösungsvorschlag

Zuerst werde ich die Funktion aufspalten:

$f(x)=\underbrace {(1+3x-3x^{2})} _{g(x)}\underbrace {\cos x} _{h(x)}$

Jetzt werden wir g an der Stelle 1 entwickeln. Es wird eine äquivalente Funktion herauskommen. Dieser Schritt passiert nur, damit beim Cauchy-Produkt der Faktor $(x-1)^{n}$ herausgehoben werden kann. Zwischenschritte werde ich mir sparen.

$1-3(x-1)-3(x-1)^{2}$

Die Ableitungen des Cosinus sind -Sinus, -Cosinus, Sinus, etc. Stattdessen kann dies aber auch die n-te Ableitung als eine Verschiebung um ${\frac {n\pi }{2}}$ angesehen werden. Sollte das unklar sein: Plotten und selbst ansehen! Wir erhalten die Potenzreihe:

$\sum _{n\geq 0}{\frac {\cos(1+{\frac {n\pi }{2}})}{n!}}(x-1)^{n}$

Um unsere beiden Potenzreihen zu multiplizieren wenden wir das Cauchy-Produkt an:

$\sum _{n\geq 0}\left(\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)(x-1)^{n}\right)$

Wobei die Folge a die Summanden der Potenzreihe von g und die Folge b die der Potenzreihe von h bezeichnen und wir $(x-1)^{n}$ gleich herausheben.

Wir ziehen die ersten beiden Summanden heraus und lassen somit n von 2 loslaufen. Da alle Folgeglieder nach $a_{2}$ gleich 0 sind, können wir die innere Summe nur bis 2 laufen lassen:

$a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})(x-1)+\sum _{n\geq 2}\left(\left(\sum _{k=0}^{2}a_{k}b_{n-k}\right)(x-1)^{n}\right)$

Nun können wir die innere Summe noch ganz auflösen:

$a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})(x-1)+\sum _{n\geq 2}(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+a_{2}b_{n-2})(x-1)^{n}$

Jetzt müssen wir nur noch einsetzen:

$\cos(1)+\left(\cos(1+{\frac {\pi }{2}})-3\cos(1)\right)(x-1)+\sum _{n\geq 2}\left(\left({\frac {\cos(1+{\frac {n\pi }{2}})}{n!}}-{\frac {3\cos(1+{\frac {(n-1)\pi }{2}})}{(n-1)!}}-{\frac {3\cos(1+{\frac {(n-2)\pi }{2}})}{(n-2)!}}\right)(x-1)^{n}\right)$