TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 177

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Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f(x) = (1 + 3x - 3x^2) \cos x an der Stelle x_0 = 1

durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Zuerst werde ich die Funktion aufspalten:

f(x) = \underbrace{(1 + 3x - 3x^2)}_{g(x)} \underbrace{\cos x}_{h(x)}

Jetzt werden wir g an der Stelle 1 entwickeln. Es wird eine äquivalente Funktion herauskommen. Dieser Schritt passiert nur, damit beim Cauchy-Produkt der Faktor (x - 1)^n herausgehoben werden kann. Zwischenschritte werde ich mir sparen.

 1 - 3 (x - 1) - 3 (x - 1)^2

Die Ableitungen des Cosinus sind -Sinus, -Cosinus, Sinus, etc. Stattdessen kann dies aber auch die n-te Ableitung als eine Verschiebung um  \frac{n \pi}{2} angesehen werden. Sollte das unklar sein: Plotten und selbst ansehen! Wir erhalten die Potenzreihe:

 \sum_{n \geq 0} \frac{\cos(1 + \frac{n \pi}{2})}{n!} (x - 1)^n

Um unsere beiden Potenzreihen zu multiplizieren wenden wir das Cauchy-Produkt an.:

 \sum_{n \geq 0} \left( \left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n - k} \right) (x - 1)^n \right)

Wobei die Folge a die Summanden der Potenzreihe von g und die Folge b die der Potenzreihe von h bezeichnen und wir  (x - 1)^n gleich herausheben.

Wir ziehen die ersten beiden Summanden heraus und lassen somit n von 2 loslaufen. Da alle Folgeglieder nach  a_2 gleich 0 sind, können wir die innere Summe nur bis 2 laufen lassen:

 a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) (x - 1) + \sum_{n \geq 2} \left( \left( \sum_{k=0}^2 a_k b_{n - k} \right) (x - 1)^n \right)

Nun können wir die innere Summe noch ganz auflösen:

 a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) (x - 1) + \sum_{n \geq 2} (a_0 b_n + a_1 b_{n - 1} + a_2 b_{n - 2}) (x - 1)^n

Jetzt müssen wir nur noch einsetzen:

 \cos(1) + \left( \cos(1 + \frac{\pi}{2}) - 3 \cos(1) \right) (x-1) + \sum_{n\geq2}\left(\left(\frac{\cos(1+\frac{n\pi}{2})}{n!} - \frac{3 \cos(1 + \frac{(n - 1)\pi}{2})}{(n - 1)!} - \frac{3 \cos(1 + \frac{(n - 2) \pi}{2})}{(n - 2)!} \right)(x - 1)^n\right)

Siehe auch:Vorlage:DefinitionVorlage:Extern>

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f(x) = (1 + 3x - 3x^2) \cos x an der Stelle x_0 = 1 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Zuerst werde ich die Funktion aufspalten:

f(x) = \underbrace{(1 + 3x - 3x^2)}_{g(x)} \underbrace{\cos x}_{h(x)}

Jetzt werden wir g an der Stelle 1 entwickeln. Es wird eine äquivalente Funktion herauskommen. Dieser Schritt passiert nur, damit beim Cauchy-Produkt der Faktor (x - 1)^n herausgehoben werden kann. Zwischenschritte werde ich mir sparen.

 1 - 3 (x - 1) - 3 (x - 1)^2

Die Ableitungen des Cosinus sind -Sinus, -Cosinus, Sinus, etc. Stattdessen kann dies aber auch die n-te Ableitung als eine Verschiebung um  \frac{n \pi}{2} angesehen werden. Sollte das unklar sein: Plotten und selbst ansehen! Wir erhalten die Potenzreihe:

 \sum_{n \geq 0} \frac{\cos(1 + \frac{n \pi}{2})}{n!} (x - 1)^n

Um unsere beiden Potenzreihen zu multiplizieren wenden wir das Cauchy-Produkt an:

 \sum_{n \geq 0} \left( \left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n - k} \right) (x - 1)^n \right)

Wobei die Folge a die Summanden der Potenzreihe von g und die Folge b die der Potenzreihe von h bezeichnen und wir  (x - 1)^n gleich herausheben.

Wir ziehen die ersten beiden Summanden heraus und lassen somit n von 2 loslaufen. Da alle Folgeglieder nach  a_2 gleich 0 sind, können wir die innere Summe nur bis 2 laufen lassen:

 a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) (x - 1) + \sum_{n \geq 2} \left( \left( \sum_{k=0}^2 a_k b_{n - k} \right) (x - 1)^n \right)

Nun können wir die innere Summe noch ganz auflösen:

 a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) (x - 1) + \sum_{n \geq 2} (a_0 b_n + a_1 b_{n - 1} + a_2 b_{n - 2}) (x - 1)^n

Jetzt müssen wir nur noch einsetzen:

 \cos(1) + \left( \cos(1 + \frac{\pi}{2}) - 3 \cos(1) \right) (x-1) + \sum_{n\geq2}\left(\left(\frac{\cos(1+\frac{n\pi}{2})}{n!} - \frac{3 \cos(1 + \frac{(n - 1)\pi}{2})}{(n - 1)!} - \frac{3 \cos(1 + \frac{(n - 2) \pi}{2})}{(n - 2)!} \right)(x - 1)^n\right)