TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 231

Man berechne:

$\int {\frac {x}{x^{3}+1}}\,dx$

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Lösungsvorschlag

Zunächst wird der Bruch durch Partialbruchzerlegung aufgespalten, anschließend werden die Teilbrüche einzeln integriert. Da der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners muss zu Beginn keine Polynomdivision durchgeführt werden.

Partialbruchzerlegung

Zuerst muss das Polynom im Nenner faktorisiert werden. Aus $x^{3}+1=0$ folgt, dass $x_{1}=-1$ und damit, dass $(x+1)$ der erste Faktor ist. Mittels Polynomdivision erhält man nun auch den anderen Faktor:

$(x^{3}+1)\colon (x+1)=x^{2}-x+1$

Da $x^{2}-x+1$ keine reellen Nullstellen hat, haben wir $(x^{3}+1)$ fertig faktorisiert und können nun die Angabe umformen:

${\frac {x}{x^{3}+1}}={\frac {A}{x+1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-x+1}}$

Multipliziert man mit den Nennern erhält man:

$x=A(x^{2}-x+1)+(Bx+C)(x+1)$

Hier kann man nun $x=-1$ einsetzen und erhält $A=-{\frac {1}{3}}$, was wieder in die Gleichung eingesetzt wird:

$x=-{\frac {x^{2}-x+1}{3}}+(Bx+C)(x+1)$

$x+{\frac {x^{2}-x+1}{3}}=(Bx+C)(x+1)$

$Bx+C={\frac {x^{2}+2x+1}{3(x+1)}}={\frac {(x+1)(x+1)}{3(x+1)}}={\frac {x+1}{3}}={\frac {x}{3}}+{\frac {1}{3}}$

Durch Koeffizientenvergleich erhält man $B=C={\frac {1}{3}}$.

Damit können wir das Integral umgeformt aufschreiben:

$\int {\frac {x}{x^{3}+1}}\,dx=\int -{\frac {1}{3(x+1)}}+{\frac {x+1}{3(x^{2}-x+1)}}\,dx=\int -{\frac {1}{3(x+1)}}\,dx+\int {\frac {x+1}{3(x^{2}-x+1)}}\,dx$

Integration des ersten Teilbruchs

$\int -{\frac {1}{3(x+1)}}\,dx=-{\frac {1}{3}}\int {\frac {1}{x+1}}\,dx$

Durch Substitution mit $u=x+1$, $du=dx$ erhalten wir:

$-{\frac {1}{3}}\int {\frac {1}{u}}\,du=-{\frac {1}{3}}\ln(u)=-{\frac {1}{3}}\ln(x+1)$

Integration des zweiten Teilbruchs

$\int {\frac {x+1}{3(x^{2}-x+1)}}\,dx={\frac {1}{3}}\int {\frac {x+1}{x^{2}-x+1}}\,dx$

Um den Bruch noch einmal aufzuteilen, erweitern wir mit 2 und schreiben außerdem noch +3 -3 mit auf den Bruchstrich:

${\frac {1}{3}}\int {\frac {2x+2+3-3}{2(x^{2}-x+1)}}={\frac {1}{6}}\int {\frac {2x-1+3}{x^{2}-x+1}}\,dx={\frac {1}{6}}\int {\frac {2x-1}{x^{2}-x+1}}\,dx+{\frac {1}{6}}\int {\frac {3}{x^{2}-x+1}}\,dx$

Die erste Hälfte dieses Ausdrucks lässt sich mithilfe der Substitution $u=x^{2}-x+1$, $du=(2x-1)dx$ einfach integrieren:

${\frac {1}{6}}\int {\frac {2x-1}{(2x-1)u}}\,du={\frac {1}{6}}\ln(u)={\frac {1}{6}}\ln(x^{2}-x+1)$

Es folgt die zweite Hälfte.

${\frac {1}{6}}\int {\frac {3}{x^{2}-x+1}}\,dx={\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{x^{2}-x+1}}\,dx$

Im Nenner lässt sich folgende Umformung durchführen:

$x^{2}-x+1=x^{2}-x+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+1=\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+1=\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}$

$x^{2}-x+1={\frac {3}{4}}\left(\left({\frac {x-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\frac {3}{4}}}}\right)^{2}+1\right)$

$u={\frac {x-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\frac {3}{4}}}}={\frac {2x-1}{\sqrt {3}}}$

${\frac {du}{dx}}={\frac {2}{\sqrt {3}}}=\Rightarrow dx={\frac {\sqrt {3}}{2}}du$

${\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{x^{2}-x+1}}\,dx={\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{{\frac {3}{4}}\left(u^{2}+1\right)}}\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}du={\frac {\sqrt {3}}{3}}\int {\frac {du}{u^{2}+1}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}\arctan u$

und zurückeingesetzt:

${\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{x^{2}-x+1}}\,dx={\frac {\sqrt {3}}{3}}\arctan {\frac {2x-1}{\sqrt {3}}}$

Zusammensetzen der Lösung

${\begin{aligned}\int {\frac {x}{x^{3}+1}}\,dx&=-{\frac {1}{3}}\ln(x+1)+{\frac {1}{6}}\ln(x^{2}-x+1)+{\frac {\arctan({\frac {2x-1}{\sqrt {3}}})}{\sqrt {3}}}+c\\&={\frac {1}{6}}\left(-2\ln(x+1)+\ln(x^{2}-x+1)\right)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {2x-1}{\sqrt {3}}}\right)+c\\&={\frac {1}{6}}\ln {\frac {x^{2}-x+1}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {2x-1}{\sqrt {3}}}\right)+c\\\end{aligned}}$