TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 22

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Man untersuche die Folge (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert . Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle .

Hilfreiches[edit]

Vollständige Induktion
Vollständige Induktion[Bearbeiten, Wikipedia]
  1. Induktionsanfang (IA)
  2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag[edit]

Monotonie[edit]

Es wird gezeigt, dass die Folge monoton fallend ist.

I.A.:

I.S.:

Q.E.D.

Beschränktheit[edit]

Weil die Funktion monoton fallend ist, ist sie sicherlich durch nach oben beschränkt. Vermutung für die untere Schranke: (geht immer so weiter).

Voraussetzung:
Behauptung:
Schritt:

Grenzwert[edit]

Sei der gesuchte Grenzwert genannt. Eine Rechenregel besagt Daher ist:

Weiterhin gilt ab einem ausreichend großen . Daher kann argumentiert werden

Wohldefiniertheit[edit]

Da , ist der Radikand immer positiv. Somit wird tatsächlich jedem eine reelle Zahl zugeordnet und die Folge ist wohldefiniert.

Die Probe mit Matlab ergibt für

Links[edit]

Wohldefiniertheit
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=175602 Grenzwert rekursiver Folgen
http://www.matheboard.de/archive/2315/thread.html
http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!185:Rekursive_Folgen
Rechenregel für Wurzel (9. Regel)
http://www.mathebibel.de/grenzwerte-rechenregeln
Induktion
https://www.youtube.com/watch?v=40UQ5HT0mVo
https://www.mathelounge.de/166431/rekursive-folge-monotonie-%26-grenzwert