TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 229

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Man berechne:

\int (x^2 + 1)e^{-2x} dx

Hilfreiches[Bearbeiten]

Partielle Integration[Bearbeiten, WP, 5.41 Satz]

\int u\;dv=uv-\int v\;du alias \int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)

Lösung[Bearbeiten]

Von

\int (x^2 + 1)e^{-2x} dx

kommt man durch zweifaches partielles Integrieren auf:

1. Integration[Bearbeiten]

(x^2+1) * \frac{e^{-2x}}{-2} - \int{ 2x * \frac{e^{-2x}}{-2} dx}


Im Integral die 2er weggkürzen und das -1 herausheben:

(x^2+1) * \frac{e^{-2x}}{-2} + \int x * e^{-2x} dx

2. Integration[Bearbeiten]

(x^2+1) * \frac{e^{-2x}}{-2} + x * \frac{e^{-2x}}{-2} - \int \frac{e^{-2x}}{-2} dx


Jetzt kann das Integral vollständig gelöst werden. 1/-2 wird wieder vor der Integration aus dem Integral herausgezogen.

(x^2+1) * \frac{e^{-2x}}{-2} + x * \frac{e^{-2x}}{-2} + \frac{1}{2} * \frac{e^{-2x}}{-2}

Vereinfachen[Bearbeiten]

\frac{e^{-2x}}{-2} * (x^2 + x + \frac{3}{2})