TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 254

Man berechne:

$\int _{0}^{\frac {2\pi }{3}}sin^{2}(x)+{\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,dx$

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Hilfreiches

Partielle Integration

Partielle Integration

$\int u\;dv=uv-\int v\;du$ alias $\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)$

Lösungsvorschlag

Es gilt:

$\int _{0}^{\frac {2\pi }{3}}sin^{2}(x)+{\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,dx=\int _{0}^{\frac {2\pi }{3}}sin^{2}(x)\,dx+\int _{0}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,dx$

Das erste Integral lässt sich durch Umformung und Gleichsetzung lösen:

$\int _{0}^{\frac {2\pi }{3}}sin^{2}(x)\,dx=\int _{0}^{\frac {2\pi }{3}}1-cos^{2}(x)\,dx=\int _{0}^{\frac {2\pi }{3}}1\,dx-\int _{0}^{\frac {2\pi }{3}}cos(x)cos(x)\,dx$

Mittels partieller Integration erhalten wir:

${\frac {2\pi }{3}}-cos(x)sin(x)-\int _{0}^{\frac {2\pi }{3}}sin^{2}(x)\,dx$

Daraus folgt:

$\int _{0}^{\frac {2\pi }{3}}sin^{2}(x)\,dx={\frac {1}{2}}({\frac {2\pi }{3}}-cos(x)sin(x))$

$\int _{0}^{\frac {2\pi }{3}}sin^{2}(x)\,dx={\frac {\pi }{3}}-{\frac {1}{2}}cos(x)sin(x)={\frac {\pi }{3}}-({\frac {1}{2}}(-{\frac {1}{2}}){\frac {\sqrt {3}}{2}}-0)={\frac {\pi }{3}}+{\frac {\sqrt {3}}{8}}$

Das zweite Integral lässt sich durch Substitution lösen, $u=1+x^{2}$, $dx={\frac {1}{2x}}du$:

$\int _{0}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,dx=\int {\frac {1}{\sqrt {u}}}{\frac {x}{2x}}\,du={\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{\sqrt {u}}}\,du={\frac {2{\sqrt {u}}}{2}}={\sqrt {u}}={\sqrt {1+x^{2}}}=$

${\sqrt {1+{\frac {4\pi ^{2}}{9}}}}-{\sqrt {1}}={\frac {\sqrt {9+4\pi ^{2}}}{3}}-1$

Zusammengefasst:

$\int _{0}^{\frac {2\pi }{3}}sin^{2}(x)+{\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,dx={\frac {\pi }{3}}+{\frac {\sqrt {3}}{8}}+{\frac {\sqrt {9+4\pi ^{2}}}{3}}-1$