TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 255

Man berechne das bestimmte Integral:

$\int _{0}^{1}x\arccos x\,dx$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Anmerkung SS11: In der Angabe war ein Fehler. Das Integral hätte von 0 bis ${\frac {\pi }{2}}$ berechnet werden sollen, was aber in dem Fall nicht funktioniert!

Hilfreiches

$(\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Lösungsvorschlag

Die Grenzen lasse ich anfangs weg, um bei etwagigen Substitutionen die Grenzen nicht mitersezten zu müssen.

als erstes durch partielle Integration:

$\int _{0}^{1}x\arccos x\,dx={\frac {x^{2}}{2}}\arccos x-{\frac {1}{2}}\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx$

Nun widmet man sich dem neuen Integral:

$\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=-\int {\frac {-x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=-\int {\frac {1-x^{2}-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=-\int {\frac {1-x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx-\int {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx$

an der Stelle sollte man erkennen, dass das 2. Integral dem arccos x entspricht:

$\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=-\int {\frac {1-x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx-\arccos x$

Weiter geht es mit dem noch verbliebenen Integral:

$-\int {\frac {1-x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=-\int {\sqrt {\frac {(1-x^{2})^{2}}{1-x^{2}}}}\,dx=-\int {\sqrt {(1-x^{2})}}\,dx=-\int 1\cdot {\sqrt {(1-x^{2})}}\,dx$

Hier wendet man wieder die partielle Integration an:

$\int 1\cdot {\sqrt {(1-x^{2})}}\,dx=-x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}-{\frac {1}{2}}\int 2x^{2}(1-x^{2})^{-1/2}\,dx=-x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}-\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx$

das setzt man wieder zurück ein:

${\begin{aligned}\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx&=-\int {\frac {1-x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx-\arccos x\\\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx&=-x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}-\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx-\arccos x\\2\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx&=-x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}-\arccos x\\\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx&=-{\frac {1}{2}}x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}-{\frac {1}{2}}\arccos x\\\end{aligned}}$

Damit kann man nun in das ursprüngliche Integral einsetzen: