TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 245

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Man berechne:

\int_0^1 \frac{x dx}{\sqrt{1 + x^2}}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Substitutionsregel[Bearbeiten, WP, 5.41 Satz]

\int f\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du mit u=u(x)

Lösung[Bearbeiten]

Das unbestimmte Integral berechnen:

\int \frac{x \cdot dx}{\sqrt{1+x^2}} = \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \cdot x\, dx

Wir substituieren

u = 1+x^2 \, und berechnen u' = 2x\,

du = u'\, dx = 2x \, dx

\frac{1}{2} du = x \, dx

Substitutiert:


\begin{align}
	\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} du & = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du \\
		& = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{u} + c \\
		& = \sqrt{u} + c \\
		& = \sqrt{1+x^2} + c
\end{align}

Grenzen einsetzen:

\sqrt{1+x^2} \vert_0^1 = \sqrt{1+1^2} - \sqrt{1+0^2} = \sqrt{2} - 1


Links[Bearbeiten]