TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 270

Untersuchen Sie folgendes uneigentliches Integral auf Konvergenz:

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|\cos x|}{x^2}dx$

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{{Beispiel|1=
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oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag von Me.Name

Dieses Integral ist nur an der Obergrenze($\mathrm{\infty }$) uneigentlich, deshalb muss keine Aufteilung gemacht werden.

Weiters gilt: $\frac{\cos x}{x^2}\le \frac{1}{x^2}$

$\frac{1}{x^2}$ ist also unsere Majorante und wie wir aus den Folgen und Reihen schon kennen, wenn die Majorante konvergiert, konvergiert auch die Folge.

$\underset{B\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{1}{\overset{B}{\int }}\frac{1}{x^2}dx=\underset{1}{\overset{B}{\int }}{x}^{-2}dx$

$\underset{B\to \mathrm{\infty }}{lim}-\frac{1}{x}{|}_1^B=-\frac{1}{B}+\frac{1}{1}=-0+1=1$

=> ja das Integral ist konvergent (gegen 1)