TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 271

Untersuchen Sie folgendes uneigentliches Integral auf Konvergenz.

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|\sin x|}{x^2}dx$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Me.Name

Dieses Integral ist sowohl an der Untergrenze (0) als auch an der Obergrenze($\mathrm{\infty }$) uneigentlich, deshalb muss eine Aufteilung gemacht werden.

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|\sin x|}{x^2}dx=\underset{A}{\overset{1}{\int }}\frac{|\sin x|}{x^2}dx+\underset{1}{\overset{B}{\int }}\frac{|\sin x|}{x^2}dx$

Weiters gilt: $\frac{\sin x}{x^2}\le \frac{1}{x^2}\le \frac{1}{\sqrt{x}}$

________________________________________

Linker Teil:

Für den Linken Teil verwenden wir die Majorante $\frac{1}{\sqrt{x}}$ da wir nicht wollen das am Schluss A=0 unter dem Bruchstich landet.

$\underset{A\to 0}{lim}\underset{A}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}=2\ast \sqrt{x}{|}_A^1=2\sqrt{1}-2\sqrt{0}=2-0=2$

________________________________________

Rechter Teil:

Für den rechten Teil verwenden wir die Majorante $\frac{1}{x^2}$ hier wollen wir ja das B=$\mathrm{\infty }$ unter den Bruchstrich gelangt.

$\underset{B\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{1}{\overset{B}{\int }}\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}{|}_1^B=-\frac{1}{B}+\frac{1}{1}=-0+1=1$

________________________________________

zusammensetzen:

So jetzt beide zusammensetzen:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|\sin x|}{x^2}dx=\underset{A\to 0}{lim}\underset{A}{\overset{1}{\int }}\frac{|\sin x|}{x^2}dx+\underset{B\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{1}{\overset{B}{\int }}\frac{|\sin x|}{x^2}dx=2+1=3$

=> konvergent