TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 254

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Untersuchen Sie folgendes uneigentliches Integral auf Konvergenz.

\int\limits_0^\infty \frac {|\sin{x}|} {x^2}\,dx

Lösungsvorschlag von Me.Name[Bearbeiten]

Dieses Integral ist sowohl an der Untergrenze (0) als auch an der Obergrenze(\infty) uneigentlich, deshalb muss eine Aufteilung gemacht werden.

\int\limits_0^\infty \frac {|\sin{x}|} {x^2}\,dx = \int\limits_A^1 \frac {|\sin{x}|} {x^2}\,dx + \int\limits_1^B \frac {|\sin{x}|} {x^2}\,dx

Weiters gilt: \frac{\sin{x}}{x^2} \leq \frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{\sqrt{x}}

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Linker Teil:

Für den Linken Teil verwenden wir die Majorante  \frac{1}{\sqrt{x}} da wir nicht wollen das am Schluss A=0 unter dem Bruchstich landet.

\lim\limits_{A\to 0} \int\limits_A^1 \frac{1}{\sqrt{x}}  = 2*\sqrt{x} |_A^1 = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{0} = 2- 0 = 2

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Rechter Teil:

Für den rechten Teil verwenden wir die Majorante \frac 1 {x^2} hier wollen wir ja das B= \infty unter den Bruchstrich gelangt.

\lim\limits_{B\to \infty} \int\limits_1^B \frac 1 {x^2}dx = -\frac 1x |_1^B = -\frac1B + \frac11 = -0 +1 = 1

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zusammensetzen:

So jetzt beide zusammensetzen:

\int\limits_0^\infty \frac {|\sin{x}|} {x^2}\,dx = \lim\limits_{A\to 0} \int\limits_A^1 \frac {|\sin{x}|} {x^2}\,dx + \lim\limits_{B\to \infty} \int\limits_1^B \frac {|\sin{x}|} {x^2}\,dx = 2 + 1 = 3

=> konvergent