TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 272

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Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgende Reihe konvergiert:

\sum_{n \geq 0} ne^{-n}

Lösungsvorschlag von maciej[Bearbeiten]

Sofern ne^{-n} eine monoton fallende Funktion ist, gilt:

\sum_{n \geq 0} ne^{-n} konvergiert, wenn \int_0^\infty ne^{-n} existiert.

Das unbestimmte Integral erhält man nach partieller integration wiefolgt:


\begin{align}
\int ne^{-n}dn  & = -ne^{-n} - \int -e^{-n} \, dn \\
                & = -ne^{-n}-e^{-n} \\
                & = -e^{-n}(n+1)
\end{align}

Wenn ich nun die Grenzen einsetze komme ich auf:

\int_0^\infty ne^{-n} = (-\frac{\infty}{e^{\infty}}-\frac{1}{e^{\infty}})-(-\frac{0}{e^{0}}-\frac{1}{e^{0}})

(Anmerkung von Froschhund: "wenn ein ganzer Haufen an Voraussetzungen erfüllt ist, besagt die regel von l'Hospital, dass der Grenzwert einer unbestimmten Form gleich bleibt, wenn man Zähler und Nenner jeweils für sich einmal differenziert." [siehe auch post von jukebox])

\frac{\infty}{e^{\infty}} läuft dann also auf \frac{1}{e^\infty} \to 0 hinaus.

übrig bleibt also nur \frac{1}{e^{0}} \to 1.

Das bestimmte Integral existiert, also konvergiert die Reihe. Mehr war nicht zu zeigen.

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