TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 289

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgende Reihe konvergiert:

$\sum _{n\ge 0}n{e}^{-n}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag von maciej

Sofern $n{e}^{-n}$ eine monoton fallende Funktion ist, gilt:

$\sum _{n\ge 0}n{e}^{-n}$ konvergiert, wenn ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}n{e}^{-n}$ existiert.

Das unbestimmte Integral erhält man nach partieller integration wiefolgt:

$\begin{array}{cc}\int n{e}^{-n}dn& =-n{e}^{-n}-\int -e^{-n}dn\\ & =-n{e}^{-n}-e^{-n}\\ & =-e^{-n}(n+1)\end{array}$

Wenn ich nun die Grenzen einsetze komme ich auf:

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}n{e}^{-n}=(-\frac{\mathrm{\infty }}{e^{\mathrm{\infty }}}-\frac{1}{e^{\mathrm{\infty }}})-(-\frac{0}{e^0}-\frac{1}{e^0})$

(Anmerkung von Froschhund: "wenn ein ganzer Haufen an Voraussetzungen erfüllt ist, besagt die regel von l'Hospital, dass der Grenzwert einer unbestimmten Form gleich bleibt, wenn man Zähler und Nenner jeweils für sich einmal differenziert." [siehe auch post von jukebox])

$\frac{\mathrm{\infty }}{e^{\mathrm{\infty }}}$ läuft dann also auf $\frac{1}{e^{\mathrm{\infty }}}\to 0$ hinaus.

übrig bleibt also nur $\frac{1}{e^0}\to 1$.

Das bestimmte Integral existiert, also konvergiert die Reihe. Mehr war nicht zu zeigen.

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