TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 28

Man untersuche nachstehende Folgen in Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit und mögliche Grenzwerte. Ferner veranschauliche man die Folgen auf der reellen Zahlengeraden:

(a) $a_{n}=0,1,{\frac {1}{2}},3,{\frac {1}{4}},5,{\frac {1}{6}},...,2n+1,{\frac {1}{2n+2}}$

(b) $b_{n}={\frac {n+4}{n-1}}$ für $n\geq 2$

(c) $c_{n}=(-1)^{n}*{\frac {n+1}{n}}$ für $n\geq 1$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Anmerkung: Die Visualisierung habe ich mir an dieser Stelle gespart. Ich glaube das sollte kein allzu großes Problem sein.

Teilaufgabe (a)

Monotonie:

offensichtlich nicht monoton; die "Richtung" ändert sich nach jedem Folgenglied

Beschränktheit:

nach oben unbeschränkt, da $\lim _{n\to \infty }2n+1=\infty$

untere Schranke ist 0, weil $2n+1>0$ und ${\frac {1}{2n+2}}\geq 0$

Grenzwerte

Wie erwähnt für erste Teilfolge uneigentlich und für die zweite $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2n+2}}=0$. Für gesamte Folge gibt es daher keinen Grenzwert.

Teilaufgabe (b)

Monotonie:

Durch Einsetzen der ersten paar Werte scheint die Folge streng monoton fallend zu sein. Dies müssen wir jetzt nur noch zeigen, wir nehmen also mal an, dass dies der Fall ist:

${\frac {n+4}{n-1}}>{\frac {n+5}{n}}$

$n^{2}+4n>n^{2}+4n-5$

$0>-5$

Womit wir unsere Annahme bestätigt haben.

Beschränktheit:

Nachdem die Folge bewiesenermaßen streng monoton fallend ist, stellt das erste Folgenglied logischerweise die obere Schranke dar.

Wir berechnen also das erste Folgenglied und somit die obere Schranke:

$b_{2}={\frac {6}{1}}=6$

Für die untere Schranke betrachten wir den Grenzwert der Folge:

$\lim _{n\to \infty }b_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+4}{n-1}}$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1+{\frac {4}{n}}}{1-{\frac {1}{n}}}}=1$

Somit ist 1 unsere untere Schranke und gleichzeitig Grenzwert von $b_{n}$.

Grenzwerte:

siehe Beschränktheit

Teilaufgabe (c)

Monotonie:

Da es sich bei $c_{n}$ um eine sogenannte alternierende Folge handelt, ist diese nicht monoton. Der Betrag der Folge ist jedoch streng monoton fallend, was einfach gezeigt werden kann (wie bei (b)).

Beschränktheit:

Für die Beschränktheit der Folge betrachten wir die ersten beiden Folgenglieder, also quasi das erste positive und das erste negative. Da der Betrag der Folge streng monoton fallend ist, stellen diese Glieder unsere oberen und untere Schranken dar.

$c_{1}=(-1)^{1}*{\frac {2}{1}}=-2$

$c_{2}=(-1)^{2}*{\frac {3}{2}}={\frac {3}{2}}$

Somit ist unsere obere Schranke 3/2 und die untere -2.

Bemerkung: Bin mir da nicht ganz sicher. Siehe WolframAlpha.

Grenzwerte:

Nachdem es sich hier um eine alternierende Folge handelt, betrachten wir den Grenzwert des Betrags der Folge, und können diesen dann positiv und negativ als Häufungspunkt annehmen.

Also berechnen wir analog zu (b) den Grenzwert des Betrags der Folge

$\lim _{n\to \infty }|c_{n}|=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1+{\frac {1}{n}}}{1}}=1$

Somit haben wir für diese Folge die Häufungspunkte -1 und 1 gezeigt.