TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 292

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Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien:

  1. (a) z = xy
  2. (b) z=\frac{x}{y}

Lösung[Bearbeiten]

lt. Prof Urbanek

Allgemein:

  •  f(x,y): D \rightarrow W
  • Definitionsbereich D in  \mathbb R \times \mathbb R bzw.  \mathbb R^2, da 2 Variablen x und y vorliegen
  • Wertebereich W für Variable z ist \mathbb R

a)  D = \mathbb R^2 , W = \mathbb R

Höhenlinie h oder z als beliebige Konstante angenommen, ergibt h = x y oder y = \frac{h}{x}

Dies ist die Gleichung einer Hyperbel, wobei die Werte von x und y gegen 0 bzw. unendlich konvergieren. Die Konstante h legt lediglich den Scheitel der Hyperbel fest.

b)  D = \mathbb R^2 \backslash \{ y \ne 0 \} , W = \mathbb R

Höhenlinie h oder z als beliebige Konstante angenommen, ergibt  h = \frac{x}{y} oder  y = h x

Dies ist die Gleichung einer Geraden, h bestimmt lediglich die Steigung

Hapi

Anm.: y = x/h und nicht hx

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