TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 314

Man prüfe nach, ob nachstehende Funktionen homogen sind:

1. (a) $f(x,y,z)=x+(yz)^{1/2}$ (für $y,z>0$),
2. (b) $f(x,y)=x^{2}+y$,
3. (c) $f(x,y)=ax^{b}y^{c}$ (mit $a,b,c\in \mathbb {R} ,x,y>0$).

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

${\begin{aligned}f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)&=\lambda x+(\lambda y\lambda z)^{1/2}\\&=\lambda x+(\lambda ^{2}yz)^{1/2}\\&=\lambda x+\lambda (yz)^{1/2}\\&=\lambda \left(x+(yz)^{1/2}\right)\\&=\lambda ^{1}f(x,y,z)\end{aligned}}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $1$.

Beispiel (b)

${\begin{aligned}f(\lambda x,\lambda y)&=(\lambda x)^{2}+\lambda y\\&=\lambda \left(\lambda x^{2}+y\right)\\&=\lambda f({\sqrt {\lambda }}x,y)\neq \lambda f(x,y)\end{aligned}}$

Die Funktion ist nicht homogen.

Beispiel (c)

${\begin{aligned}f(\lambda x,\lambda y)&=a(\lambda x)^{b}(\lambda y)^{c}\\&=a\lambda ^{b}x^{b}\lambda ^{c}y^{c}\\&=\lambda ^{b+c}ax^{b}y^{c}\\&=\lambda ^{b+c}f(x,y)\end{aligned}}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $b+c$.