TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 300

Sei $f(x,y)={\frac {x\cos {\frac {1}{x}}+y\sin y}{2x-y}}$ für $0\neq x\neq 2y$.

Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte $\lim _{y\rightarrow 0}\lim _{x\rightarrow 0}f(x,y)$ und $\lim _{x\rightarrow 0}\lim _{y\rightarrow 0}f(x,y)$.

Existiert der Grenzwert $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$ ?

Lösungsvorschlag von m-zero

$\lim _{y\to 0}{\bigg (}\lim _{x\to 0}f(x,y){\bigg )}=\lim _{y\to 0}{\frac {y\sin y}{-y}}=\lim _{y\to 0}-\sin y=0$

$\lim _{x\to 0}{\bigg (}\lim _{y\to 0}f(x,y){\bigg )}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\cos {\frac {1}{x}}}{2x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos \ {\frac {1}{x}}}{2}}\$ ist wegen ${\frac {1}{x}}$ undefiniert.

Die iterierten Grenzwerte sind also verschieden. Aus der Tatsache dass $\lim _{x\to 0}{\bigg (}\lim _{y\to 0}f(x,y){\bigg )}$ nicht existiert folgt, dass auch $\lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ nicht existiert.

Bemerkung von 2#4u

Es ist wohl weniger wegen ${\frac {1}{x}}$ undefiniert, aber eher weil $\cos \ {\frac {1}{x}}$ bei x gegen 0 zwischen -1 und +1 divergiert. Siehe auch: [1]

Links

• Diskussion Informatik-Forum SS02 Beispiel 9 (alt)
• Diskussion Informatik-Forum SS03 Beispiel 337 (alt)