TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 300

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Sei f(x,y) = \frac{x\cos\frac{1}{x}+y\sin y}{2x-y} für 0 \ne x\ne 2y.

Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte \lim_{y \rightarrow 0} \lim_{x \rightarrow 0} f(x,y) und \lim_{x \rightarrow 0} \lim_{y \rightarrow 0} f(x,y).

Existiert der Grenzwert \lim_{(x,y) \rightarrow(0,0)}f(x,y) ?

Lösungsvorschlag von m-zero[Bearbeiten]

\lim_{y \to 0}\bigg(\lim_{x \to 0}f(x,y)\bigg)=\lim_{y \to 0}\frac{y\sin y}{-y}=\lim_{y \to 0}-\sin y=0

\lim_{x \to 0}\bigg(\lim_{y \to 0}f(x,y)\bigg)=\lim_{x \to 0}\frac{x\cos \frac{1}{x}}{2x}=\lim_{x \to 0}\frac{\cos\ \frac{1}{x}}{2}\ ist wegen \frac{1}{x} undefiniert.

Die iterierten Grenzwerte sind also verschieden. Aus der Tatsache dass \lim_{x \to 0}\bigg(\lim_{y \to 0}f(x,y)\bigg) nicht existiert folgt, dass auch \lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y) nicht existiert.

Bemerkung von 2#4u[Bearbeiten]

Es ist wohl weniger wegen \frac{1}{x} undefiniert, aber eher weil \cos\ \frac{1}{x} bei x gegen 0 zwischen -1 und +1 divergiert. Siehe auch: [1]

Links[Bearbeiten]

  • Diskussion Informatik-Forum SS02 Beispiel 9 (alt)
  • Diskussion Informatik-Forum SS03 Beispiel 337 (alt)