TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 321

Man untersuche die Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ auf Stetigkeit. (Hinweis: $a+b\geq 2{\sqrt {ab}}$ für $a,b\geq 0$):

$f(x,y)={\frac {xy}{|x|+|y|}}\qquad \qquad {\text{für }}\,\,(x,y)\neq (0,0)\,\,{\text{ und }}\,\,f(0,0)=0$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Definition den Grenzwertes einer Funktion mit mehreren Variablen

$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}(f(x,y))=0\leftrightarrow \forall \epsilon >0:\exists \delta >0:\;(|x|,|y|<\delta \rightarrow |f(x,y)|<\epsilon )$

Lösungsvorschlag von Drunken Monkey

Ich habe den Limes t gegen 0 für f(at,bt) gebildet und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:

$\lim _{t\rightarrow 0}f(at,bt)=+-\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t^{2}ab}{ta+tb}}=+-\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {tab}{a+b}}=0$

Demnach ist Funktion stetig über ganz $\mathbb {R} ^{2}$.

• Anmerkung: Laut Prof. Länger ist diese Lösung zwar richtig, aber nur für den Spezialfall, dass man sich dem Punkt (0,0) linear nähert. - -wolf-gang 21:00, 28. Apr 2008 (CEST)

Lösungsvorschlag von Wolf-gang

Lösung laut Prof. Länger (ohne Benutzung des Hinweises in der Angabe!)

Wie bereits bei Drunken Monkeys Lösung angemerkt muss man bedenken, dass sich x und y unabhängig voneinander an (0,0) annähern können. Beispielsweise auf einer Geraden (wie oben), auf einer Spirale, ... Um also die allgemeine Annäherung von x und y an (0,0) zu beschreiben betrachtet man das Verhalten des Funktionswerts f(x,y) in einer kleinen Umgebung von (0,0) in Abhängikeit von x und y. Sei die Behauptung:

$\forall x,y\in \mathbb {R} :|f(x,y)|\leq \max(|x|,|y|)<\epsilon$

Beweis:
Fall 1: $x\neq 0\rightarrow |f(x,y)|={\frac {|x|\cdot |y|}{|x|+|y|}}\leq {\frac {|x|\cdot |y|}{|x|}}=|y|\leq \max(|x|,|y|)$

Fall 2 (analog): $y\neq 0\rightarrow |f(x,y)|\leq \max(|x|,|y|)$

Fall 3: $x=y=0\rightarrow |f(x,y)|=0\leq \max(|x|,|y|)$

$q.e.d.$

Damit ist gezeigt, dass in jedem Fall f(x,y) in einer $\epsilon$-Umgebung liegt, sich dem Wert 0 nähert und die Funktion somit stetig ist. Fall 1 und 2 können natürlich auch in Kombination auftreten, wenn $x\neq 0\;und\;y\neq 0$