TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 32

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n\in \mathbb {N}$ definiert.)

$a_{n}={\frac {4n^{2}+5n-3}{2n^{3}+3n^{2}-n+7}}$

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}}

Lösungsvorschlag

Zähler und Nenner sind uneigentlich konvergente Folgen, sodass die Sätze 4.14 und 4.16 (Rechenregeln für Folgen) nicht direkt anwendbar sind. Herausheben der höchsten Potenz und anschließendes Kürzen macht aber Satz 4.14 anwendbar.

 $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=$
 $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {4n^{2}+5n-3}{2n^{3}+3n^{2}-n+7}}=$
 $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {n^{3}\left({\frac {4}{n}}+{\frac {5}{n^{2}}}-{\frac {3}{n^{3}}}\right)}{n^{3}\left(2+{\frac {3}{n}}-{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {7}{n^{3}}}\right)}}=$
 $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {0+0-0}{2+0-0+0}}=$
 $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {0}{2}}=0$

Es müsste auch funktionieren, wenn die jeweils höchste Potenz herausgehoben wird.

 $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=$
 $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {4n^{2}+5n-3}{2n^{3}+3n^{2}-n+7}}=$
 $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {n^{2}\left(4+{\frac {5}{n}}-{\frac {3}{n^{2}}}\right)}{n^{3}\left(2+{\frac {3}{n}}-{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {7}{n^{3}}}\right)}}=$
 $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {4+0-0}{n(2+0-0+0)}}=$
 $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {2}{n}}=0$

Analog zu TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS08/Beispiel_462