TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 326

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Mit Hilfe der Kettenregel berechne man den Wert der partiellen Ableitung der Funktion F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y)) nach y an der Stelle (0, 0), wobei f(g,h)=g^2+h^2, g(x,y)=\cos x+\sin y und h(x,y)=x+y+1 ist.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

\biggl(f\bigl(g(x)\bigr)\biggr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

F(x,y) = f(g(x,y),h(x,y)) = g(x,y)^2 + h(x,y)^2

\begin{align} F_y 
&= 2 g(x,y) \cdot g_y(x,y) + 2 h(x,y) \cdot h_y(x,y) \\
&= 2(\cos x+\sin y) (0 + \cos y) + 2(x+y+1)(0+1+0) \\
&= 2 \left( \cos x \cos y + \sin y \cos y + x + y + 1 \right)
\end{align}

\begin{align} F_y(0,0) 
&= 2 \left( \cos 0 \cos 0 + \sin 0 \cos 0 + 0 + 0 + 1 \right) \\
&= 2 \left( 1 + 0 + 0 + 0 + 1 \right) = 2 \cdot 2 = 4
\end{align}

Lösungsvorschlag von Tonico[Bearbeiten]

\frac{\mathrm d F}{\mathrm d y}=\frac{\partial f}{\partial g}\cdot\frac{\mathrm d g}{\mathrm d y}+\frac{\partial f}{\partial h}\cdot\frac{\mathrm d h}{\mathrm d y}

\frac{\mathrm d F}{\mathrm d y}(x,y)=2(\cos x+\sin y)\cdot\cos y+2(x+y+1)\cdot1

\frac{\mathrm d F}{\mathrm d y}(0,0)=2+2=\underline{4}

Quelle[Bearbeiten]

SS07 Beispiel 86

Links[Bearbeiten]