TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 329

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Man berechne die Ableitung von f (x, y) = x^ 2 + 4y^ 2 im Punkt P_0 (3, 2)

  1. (a) in Richtung der Koordinatenachsen,
  2. (b) in Richtung von (−1, −1), sowie
  3. (c) in Richtung von grad f.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Gradient[Bearbeiten, WP, 6.14 Definition]

\mathrm{grad}\ f = 
\begin{pmatrix}
f_{x_1}\\
\vdots\\
f_{x_n}\\
\end{pmatrix}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

f_x = 2x

f_y = 8y

\operatorname{grad} f(x,y) = \begin{pmatrix} 2x \\ 8y \end{pmatrix}

\operatorname{grad} f(x_0,y_0) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 \\ 8 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 16 \end{pmatrix}

Beispiel (a)[Bearbeiten]

X-Richtung: \operatorname{grad} f \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 16 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 6 \cdot 1 + 16 \cdot 0 = 6

Y-Richtung: \operatorname{grad} f \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 16 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 6 \cdot 0 + 16 \cdot 1 = 16

Beispiel (b)[Bearbeiten]

Vektor auf Länge 1 normieren:

\left| \left| \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \right| \right| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \Rightarrow \operatorname{grad} f \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}

\operatorname{grad} f \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 16 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}
= \frac{-1 \cdot 6 - 1 \cdot 16 }{\sqrt{2}} = \frac{-22}{\sqrt{2}} \approx -15.556

Beispiel (c)[Bearbeiten]

\left| \left| \begin{pmatrix} 6 \\ 16 \end{pmatrix} \right| \right| = \sqrt{6^2 + 16^2} = \sqrt{292}

\operatorname{grad} f \cdot \frac{1}{\sqrt{292}} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 16 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{292}} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 16 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 16 \end{pmatrix}
= \frac{6 \cdot 6 + 16 \cdot 16 }{\sqrt{292}} = \frac{292}{\sqrt{292}} = \sqrt{292} \approx 17.088

Links[Bearbeiten]