TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 358

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Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x, y) im angegebenen Bereich:

f(x,y) = 2x^3 - 5xy^2 + 3y für x, y \in R

Lösungshilfe[Bearbeiten]

Graphische Auswertung(1)
Graphische Auswertung(2)

f_x = 6x^2 - 5y^2

f_y = 3 - 10xy

Nun setzt man beide Formeln gleich 0. Als erstes für x:

6x^2 - 5y^2 = 0

6x^2 = 5y^2

x^2 = \frac{5y^2}6 (das lösen wir jetzt nicht weiter auf, man sieht dann warum)

und dann für y:

3 - 10xy = 0

3 = 10xy

\frac{3}{10x} = y

Weiter geht't mit Einsetzen. Wir setzen nun das Ergebnis von y in die Formel von x ein:

x^2 = \frac{5(\frac{3}{10x})^2}{6} = \frac{5(\frac{9}{100x^2})}{6} = \frac{\frac{45}{100x^2}}{6} = \frac{45}{600x^2}

Daraus folgt:

x^4 = \frac{45}{600} = \frac{3}{40} => x = \pm \sqrt[4]{\frac{3}{40}}

Das nun in die y-Formel eingesetzt ergibt:

y = \frac{3}{10\pm \sqrt[4]{\frac{3}{40}}}

- Luki (Komplette Lösung folgt)

Links[Bearbeiten]

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