TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 362

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Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x, y) im angegebenen Bereich:

f(x,y)= \sin (x+y) + \sin x + \sin y für  0 \le x,y\le \pi/2

Lösungsvorschlag von lumpi[Bearbeiten]

Partielle Ableitungen

f_x=\cos (x+y)+\cos x

f_y=\cos (x+y)+\cos y

Mögliche Extrema/Sattelpunkte Zum Errechnen von möglichen Extrema, setzen wir f_x und f_y gleich 0.

f_x=\cos (x+y)+\cos x=0

\cos (x+y)=-\cos x

f_y=\cos (x+y)+\cos y=0

\cos (x+y)=-\cos y

\rightarrow \cos x=\cos y \rightarrow x=y

\cos (2x)+\cos x=0

\cos (2x) ist ein Doppelwinkelsatz also \cos (2x)=\cos ^2(x) - \sin ^2(x)

das zweite was man wissen muss ist, dass \cos ^2(x) + \sin ^2 (x) = 1, also  \sin ^2(x) = 1 - \cos ^2(x)

\cos (2x) + \cos x = 0

\cos ^2(x) - (1 - \cos ^2(x)) + \cos x = 0

2* \cos ^2(x) + \cos x - 1 = 0

große Lösungsformel einer quadratischen Gleichung.. (nicht auf Substitution u = \cos x vergessen!)

Somit erhalte ich die Lösungen

u_1 = -1,\quad u_2 = 1/2

und jetzt noch für die endgültige Lösung resubstituieren

x_1 = (\pi),\quad x_2 = (\pi)/3

Nur x_2 liegt im angegebenen Bereich, das ist die gesuchte Stelle!

Partielle Ableitungen zweiter Ordnung Nun errechnen wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung für die Hessematrix:

f_{xx}=-\sin (x+y)-\sin x = -\sin (2\tfrac \pi 3)-\sin (\tfrac \pi 3) = -\sqrt 3

f_{xy}=f_{yx}=-\sin (x+y) = -\sin (2\tfrac \pi 3) = -\tfrac{\sqrt 3}2

f_{yy}=-\sin (x+y)-\sin y = -\sin (2\tfrac \pi 3)-\sin (\tfrac \pi 3) = -\sqrt 3

Hessematrix

\begin{align}
H_f=& \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy}\end{vmatrix}
   = \begin{vmatrix}
     -\sqrt 3          & -\tfrac{\sqrt 3}2\\
     -\tfrac{\sqrt 3}2 & -\sqrt 3\\
     \end{vmatrix}\\
   =& (-\sqrt{3})^2-(-\tfrac{\sqrt 3}2)^2=3 - \tfrac 3 4=\tfrac 9 4
\end{align}

H_f > 0

f_xx < 0

\Longrightarrow(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}) ist ein relatives Maximum

Links[Bearbeiten]

Siehe Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 128

Cosinus anschaulich dargestellt (nur halt nicht in rad): cosinus animiert