TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 37

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n\in \mathbb {N}$ definiert.)

$a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösung(svorschlag)

von Tina

$a_{n}=\underbrace {\sqrt {n+1}} _{a}-\underbrace {\sqrt {n}} _{b}$

Binomische Formel: $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\rightarrow (a-b)={\frac {a^{2}-b^{2}}{a+b}}$

Auf Angabe anwenden:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n+1-n}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}={\frac {1}{\infty }}=0$

Anmerkung von auron676

Wem die obige Herleitung zu unheimlich erscheint, als dass es so wirkt, als wäre man selbst draufgekommen:

Man kommt auch dadurch auf die richtige Lösung, indem man einfach mit ${\frac {{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}$ multipliziert und dann ein bisschen umformt, wodurch man letztlich auf dasselbe Ergebnis kommt.

siehe auch: http://www.youtube.com/watch?v=VIxFKI9xTHE