TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 397

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung $y'+y\cos x=\sin x\cos x$ zur Anfangsbedingung $y(0)=1$.

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}}

Lösung von KönigD

Das Lösen der Aufgabe unterteilt sich in vier Teile:

1. Lösen der homogenen Formel durch "Trennen der Variablen"
2. Lösen der inhomogenen Formel durch "Variation der Konstante"
3. Zusammen fügen von den beiden Lösungen (aka y = y_h + y_p)
4. Speziell Lösung mittels Anfangsbedingung

Schritt 1 (Lösen der homogenen Formel durch "Trennen der Variablen"):

$y'+y*cos(x)=0$

Aus Buch Seite 317 wissen wir dass die homogene Lösung immer die Form $y_{h}(x)=C*e^{-\int a(x)dx}$hat.

In unserem Fall ist $a(x)=cos(x)$dh wir müssen nur noch das Integral lösen.

$\int cos(x)dx=sin(x)+C$

und somit erhalten wir die homogene Lösung:

$y_{h}=C*e^{-sin(x)}$

Schritt 2 (Lösen der inhomogenen Formel durch "Variation der Konstante"):

Um die partikuläre Lösung finden zu können, brauchen wir einen Ansatz. Hierfür verwenden wir einfach die homogäne Lösung

$y(x)=C(x)*e^{-sin(x)}$

Die setzen wir in die Angabe ein und erhalten somit folgendes:

${\begin{aligned}(C(x)*e^{-sin(x)})'+(C(x)*e^{-sin(x)})*cos(x)=sin(x)*cos(x)\\C'(x)*e^{-sin(x)}-C(x)*e^{-sin(x)}*cos(x)+C(x)*e^{-sin(x)}*cos(x)=sin(x)*cos(x)\end{aligned}}$

Durch umformen erhalten wir dann

$C'(x)=cos(x)*sin(x)*e^{sin(x)}$

Hinweis: die normalen C(x) sollten sich immer "wegkürzen" falls dies bei dir nicht der Fall ist hast du einen fehler gemacht (am besten deine Rechenschritte und die Lösung für homogene überprüfen)

Dies müssen wir noch integrieren damit wir schlussendlich C(x) erhalten. Dies wird mit simpler substitution und folglich mit partielle Integration gemacht.

$u=sin(x)$

${\frac {du}{dx}}=cos(x)$

${\frac {du}{cos(x)}}=dx$

${\begin{aligned}\int {\frac {1}{cos(x)}}*cos(x)*u*e^{u}=1*\int u*e^{u}\end{aligned}}$

Nun folgt die Partiell integration. Wir wählen das g(x) und f'(x) so dass g'(x) im späteren verlauf und das integral einfacher macht.

$g(x)=u$

$g'(x)=1$

$f'(x)=e^{u}$

$f(x)=e^{u}$

Wenn wir nun integrieren kommt folgendes heraus

${\begin{aligned}\int u*e^{u}=u*e^{u}-\int 1*e^{u}\\=u*e^{u}-e^{u}=e^{u}(u-1)\end{aligned}}$

Wenn wir jetzt zurück substituieren erhalten wir folgendes Ergebnis für C(x)

$C(x)=e^{sin(x)}*(sin(x)-1)$

Anmerkung: u = sin(x), hier wurde fälschlicherweise das "-" beibehalten.

Das setzten wir in unseren Ansatz ein und formen um, damit wir ein y_p(x) erhalten

${\begin{aligned}y_{p}=C(x)*e^{-sin(x)}\\=e^{sin(x)}(sin(x)-1)*e^{-sin(x)}\\=sin(x)-1\end{aligned}}$

Schritt 3 (Zusammen fügen von den beiden Lösungen (aka y = y_h + y_p)):

Jetzt nur noch zusammen fügen:

$y=y_{h}+y_{p}={\frac {C}{e^{sin(x)}}}+sin(x)-1$

Schritt 4 (Speziell Lösung mittels Anfangsbedingung)

In der Angabe haben wir eine Anfangsbedingung gegeben y(0) = 1

$y(0)=1={\frac {C}{e^{sin(0)}}}+sin(0)-1$

$C=2$

Jetzt somit haben wir eine spezielle Lösung mit der folgenden Formel

$y(x)={\frac {2}{e^{sin(x)}}}+sin(x)-1$

oder anders aufgeschrieben (so wie man es in WolframAlpha vorfindet)

$y(x)=2e^{-sin(x)}+sin(x)-1$

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 16:54, 12. Jun 2006 (CEST)

Links

• Diskussion im Informatik-Forum WS08 Beispiel 50 Karigl

Quelle

• Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 159