TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 38

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n\in \mathbb {N}$ definiert.)

$a_{n}={\sqrt {n+{\sqrt {n}}}}-{\sqrt {n}}$

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Lösung

Ein relativ blödes Beispiel, wie ich finde. Wenn wir richtig anfangen, ist es jedoch sehr bewältigbar.

Durch Einsetzen der ersten paar Werte kommen wir recht schnell zu der Annahme, dass die Folge konvergiert, jetzt müssen wir dies "nur noch zeigen".

Zur Bestimmung des Limes ist es am einfachsten, wenn wir einen Bruch aus dem Ausdruck machen - hierbei besteht der Trick darin, mit dem richtigen Ausdruck zu erweitern. Was sich in dieser Situation anbietet, ist ${\sqrt {n+{\sqrt {n}}}}+{\sqrt {n}}$, da es sich um den konjugierten Term handelt, und wir somit schon einmal Wurzeln wegbekommen. Also gehen wir wie folgt vor:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {({\sqrt {n+{\sqrt {n}}}}-{\sqrt {n}})({\sqrt {n+{\sqrt {n}}}}+{\sqrt {n}})}{{\sqrt {n+{\sqrt {n}}}}+{\sqrt {n}}}}$

Ausmultiplizieren, und wir erhalten:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{{\sqrt {n+{\sqrt {n}}}}+{\sqrt {n}}}}$

Jetzt tun wir uns schon erheblich leichter und wir können wie üblich durch die höchste Potenz dividieren, was in diesem Fall der Term ${\sqrt {n+{\sqrt {n}}}}$ ist.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {\frac {n}{n+{\sqrt {n}}}}}{{\sqrt {\frac {n+{\sqrt {n}}}{n+{\sqrt {n}}}}}+{\sqrt {\frac {n}{n+{\sqrt {n}}}}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {\frac {n}{n+{\sqrt {n}}}}}{1+{\sqrt {\frac {n}{n+{\sqrt {n}}}}}}}$

Nun brauchen wir lediglich den Limes des Ausdrucks ${\sqrt {\frac {n}{n+{\sqrt {n}}}}}$, also dividieren wir im Bruch nochmals durch die höchste Potenz und lassen nun endlich n gegen unendlich laufen.

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {\frac {\frac {n}{n}}{{\frac {n}{n}}+{\frac {\sqrt {n}}{n}}}}}={\sqrt {\frac {1}{1+0}}}=1$

Daraus erhalten wir für den gesamten Ausdruck folgendes:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {\frac {n}{n+{\sqrt {n}}}}}{1+{\sqrt {\frac {n}{n+{\sqrt {n}}}}}}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}$

...und die Konvergenz der Folge ist bewiesen.