TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 401

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

$y'+{\frac {1}{1+2x}}y=2x-3,y(0)=2\,$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst ein paar Nebenrechnungen die wir später brauchen werden:

$-\int {\frac {dx}{1+2x}}dx=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {dt}{t}}=-{\frac {1}{2}}ln|t|+C=-{\frac {1}{2}}ln|1+2x|+C=ln|{\frac {1}{\sqrt {1+2x}}}|+C\,$

$\int (2x-3){\sqrt {1+2x}}dx=\int (2x-3){\sqrt {1+2x}}{\sqrt {1+2x}}dt=\int (2x-3)(1+2x)dt=\int ({\frac {2(t^{2}-1)}{2}}-3)(1+{\frac {2(t^{2}-1)}{2}})dt=\int (t^{4}-4t^{2})dt={\frac {t^{5}}{5}}-{\frac {4t^{3}}{3}}+C\,$

$\int (2x-3){\sqrt {1+2x}}dx={\frac {\sqrt {(1+2x)^{5}}}{5}}-{\frac {4{\sqrt {(1+2x)^{3}}}}{3}}+C\,$

Substitution:

$t={\sqrt {1+2x}}\,$

$x={\frac {t^{2}-1}{2}}\,$

$dt={\frac {2}{2{\sqrt {1+2x}}}}dx\,$

$dx={\sqrt {1+2x}}dt\,$

Lösung der homogenen Gleichung

$y'+{\frac {1}{1+2x}}y=0\,$

$y'=-{\frac {1}{1+2x}}y\,$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+2x}}y\,$

${\frac {dy}{y}}=-{\frac {dx}{1+2x}}y\,$

$\int {\frac {dy}{y}}=-\int {\frac {dx}{1+2x}}y\,$

$ln|y|=ln|{\frac {1}{\sqrt {1+2x}}}|\,$

$y_{h}(x)={\frac {C}{\sqrt {1+2x}}}\,$

EDIT: Zeile 4 stimmt nicht, da muss durch y dividiert werden. Somit fällt das y auf der rechten Seite weg

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_{p}(x)={\frac {C(x)}{\sqrt {1+2x}}}\,$

Einsetzen:

${\frac {C'(x)}{\sqrt {1+2x}}}-{\frac {C(x)}{\sqrt {(1+2x)^{3}}}}+{\frac {C(x)}{{\sqrt {1+2x}}(1+2x)}}=2x-3\,$

${\frac {C'(x)}{\sqrt {1+2x}}}=2x-3\,$

$C'(x)=(2x-3){\sqrt {1+2x}}\,$

$C(x)=\int (2x-3){\sqrt {1+2x}}dx\,$

$C(x)={\frac {\sqrt {(1+2x)^{5}}}{5}}-{\frac {\sqrt {(1+2x)^{3}}}{3}}\,$

$y_{p}(x)={\frac {C(x)}{\sqrt {1+2x}}}={\frac {\sqrt {(1+2x)^{5}}}{5{\sqrt {1+2x}}}}-{\frac {4{\sqrt {(1+2x)^{3}}}}{3{\sqrt {1+2x}}}}={\frac {(1+2x)^{2}}{5}}-{\frac {4(1+2x)}{3}}\,$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_{h}(x)+y_{p}(x)={\frac {C}{\sqrt {1+2x}}}+{\frac {(1+2x)^{2}}{5}}-{\frac {4(1+2x)}{3}}\,$

$y(0)=2\,$

Einsetzen:

$2={\frac {C}{\sqrt {1+2*0}}}+{\frac {(1+2*0)^{2}}{5}}-4{\frac {(1+2*0)}{3}}\,$

Dann erhält man:

$C={\frac {47}{15}}\,$

Die spezifische Lösung lautet also:

$y={\frac {47}{15{\sqrt {1+2x}}}}+{\frac {(1+2x)^{2}}{5}}-4{\frac {(1+2x)}{3}}\,$