TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 404

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) $y''-8y'-20y=0$

(b) $y''+8y'+16y=0$

(c) $y''-8y'+25y=0$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von jakobk

Generell: Charakteristische Gleichung aufstellen, lösen und dann anhand von $\ \lambda _{1}$ und $\ \lambda _{2}$ den richtigen Lösungsansatz wählen.

Beispiel (a)

$\ y''-8y'-20y=0$

=> Charakteristische Gleichung: $\ \lambda ^{2}-8\lambda -20=0$

$\ \lambda _{1,2}=4\pm {\sqrt {4^{2}+20}}$

$\ \lambda _{1}=10,\lambda _{2}=-2$

=> 2 unterschiedliche reelle Lösungen => Ansatz $\ y(x)=C_{1}*e^{\lambda _{1}x}+C_{2}*e^{\lambda _{2}x}$

=> $\ y(x)=C_{1}*e^{10x}+C_{2}*e^{-2x}$ mit $\ C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

Beispiel (b)

$\ y''+8y'+16y=0$

=> Charakteristische Gleichung: $\ \lambda ^{2}+8\lambda +16=0$

$\ \lambda _{1,2}=-4\pm {\sqrt {(-4)^{2}-16}}$

$\ \lambda _{1}=\lambda _{2}=-4$

=> Eine reelle Doppellösung => Ansatz $\ y(x)=(C_{1}+C_{2}x)*e^{\lambda x}$

=> $\ y(x)=(C_{1}+C_{2}x)*e^{-4x}$ mit $\ C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

Beispiel (c)

$\ y''-8y'+25y=0$

=> Charakteristische Gleichung: $\ \lambda ^{2}-8\lambda +25=0$

$\ \lambda _{1,2}=4\pm {\sqrt {4^{2}-25}}$

$\ \lambda _{1,2}=4\pm 3i=\alpha \pm \beta i$

=> 2 konjugiert komplexe Lösungen => Ansatz $\ y(x)=e^{\alpha x}*(C_{1}*cos(\beta x)+C_{2}*sin(\beta x))$

=> $\ y(x)=e^{4x}*(C_{1}*cos(3x)+C_{2}*sin(3x))$ mit $\ C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

Quelle

Karigl Beispielsammlung SS04 Beispiel 43