TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 408

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung

$y''+2y'+2y=0$

zu den Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y'(0)=0$.

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{{Beispiel|status=solved|1=
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Lösungsvorschlag

Allgemeine Lösung

$y''+2y'+2y=0$

Charakteristische Gleichung: $\lambda ^{2}+2\lambda +2=0$

$\lambda _{1,2}=-{\frac {2}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {2}{2}}\right)^{2}-2}}$

$\Rightarrow \ \lambda _{1}=-1+i,\lambda _{2}=-1-i$

$\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {C} ,\lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta$

Ansatz: $y(x)=e^{\alpha x}(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x))$

$\Rightarrow y(x)=e^{-x}(C_{1}\cos x+C_{2}\sin x)$ mit $C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

Anfangsbedingungen

${\begin{aligned}y'(x)&=-1\cdot e^{-x}(C_{1}\cos x+C_{2}\sin x)+e^{-x}(-C_{1}\sin x+C_{2}\cos x)\\&=e^{-x}\left(C_{2}\cos x-C_{1}\sin x-C_{1}\cos x-C_{2}\sin x\right)\\&=e^{-x}\left(C_{2}\left(\cos x-\sin x\right)-C_{1}\left(\sin x+\cos x\right)\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y(0)=1&=e^{-0}\cdot (C_{1}\cos 0+C_{2}\sin 0)\\1&=1\cdot (C_{1}\cdot 1+C_{2}\cdot 0)\\C_{1}&=1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y'(0)=0&=e^{-0}\left(C_{2}\left(\cos 0-\sin 0\right)-C_{1}\left(\sin 0+\cos 0\right)\right)\\0&=1\cdot \left(C_{2}\left(1-0\right)-C_{1}\left(0+1\right)\right)\\0&=C_{2}-C_{1}\\C_{1}&=C_{2}=1\end{aligned}}$

Die partikuläre Lösung ist daher:

$y(x)=e^{-x}(\cos x+\sin x)$

Lösungs aus 2004

Lösung aus 2004